Questão 5: Usando a regra da Cadeia encontre a derivada de f(x)=\ln \left(x^{4}+x^{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln\!\bigl(x^{4}+x^{3}\bigr) usando a regra da cadeia. Vamos identificar a função interna e a externa e aplicar a diferenciacão de uma função composta.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{4}+x^{3},
de modo que
f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr).
A regra da cadeia diz que
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=4x^{3}+3x^{2}.

Passo 4

Substituímos u(x) e u'(x) em f'(x):
f'(x)=\frac{4x^{3}+3x^{2}}{x^{4}+x^{3}}.
Para simplificar, fatoramos x^{2} no numerador e x^{3} no denominador:
f'(x)=\frac{x^{2}(4x+3)}{x^{3}(x+1)} =\frac{4x+3}{x(x+1)}.

Resposta

f'(x)=\frac{4x+3}{x(x+1)}.

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