Questão 1 Nos itens a seguir classifique as equações diferenciais quanto a linearidade e a ordem. Verifique também qual é a variável dependente e a independente.
(e) e^{x} y^{\prime \prime \prime}-\ln (x) y^{\prime}=2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
e^x\,y^{\prime\prime\prime}-\ln(x)\,y^{\prime}=2
quanto à ordem e à linearidade, além de identificar qual é a variável independente e qual é a variável dependente. O conteúdo é teoria de classificação de equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

A ordem de uma EDO é o grau da derivada mais alta que aparece. Nesta equação surge y^{\prime\prime\prime}, que é a derivada de ordem 3. Portanto, é uma EDO de ordem 3.

Passo 3

Uma EDO é linear se todas as aparições de y e suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e sem produtos entre si. Podemos escrevê-la na forma
e^x\,y^{\prime\prime\prime} + 0\cdot y^{\prime\prime} - \ln(x)\,y^{\prime} + 0\cdot y = 2.
Como não há termos como (y')^2, y\,y'' nem potências de y, ela é linear (e não homogênea, pois o lado direito é diferente de zero).

Passo 4

A variável independente é x, pois todas as derivadas são tomadas em relação a x. A variável dependente é y, que é função de x.

Resposta

Ordem: 3.
Linearidade: linear (não homogênea).
Variável independente: x.
Variável dependente: y.

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