Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=5\left(4 x^{2}-15 x\right)^{3}-3\left(4 x^{2}-15 x\right)^{2}+\left(4 x^{2}-15 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=5\left(4 x^{2}-15 x\right)^{3}-3\left(4 x^{2}-15 x\right)^{2}+\left(4 x^{2}-15 x\right).
Informações dadas e objetivo:
  • A função é uma combinação de potências da mesma expressão \left(4x^{2}-15x\right).
  • O pedido é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Observação útil (substituição para simplificar a escrita): defina a expressão interna como
u(x)=4x^{2}-15x.
Com isso a função fica escrita como
f(x)=5u^{3}-3u^{2}+u,
onde, para não esquecer, u depende de x. A ideia é derivar f em relação a x usando a derivada da função em u combinada com a derivada de u em relação a x. Isso evita reescrever a expressão interna várias vezes e deixa a conta mais organizada.

Passo 3

Derivada da parte externa em função de u: considere a função em u
g(u)=5u^{3}-3u^{2}+u.
Vamos derivar termo a termo usando a regra do poder (power rule): se h(u)=u^{n}, então h'(u)=n u^{n-1}. Aplicando:
g'(u)=15u^{2}-6u+1.
Aqui cada coeficiente vem de multiplicar o expoente pelo coeficiente original: 5\cdot 3=15, -3\cdot 2=-6, e 1\cdot 1=1.

Passo 4

Derivada da parte interna u(x): calcule
u(x)=4x^{2}-15x.
Derivando termo a termo (regra do poder novamente e linearidade):
u'(x)=8x-15.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia (derivada de composição): como f(x)=g(u(x)), temos
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo g'(u) e u'(x):
f'(x)=\bigl(15u^{2}-6u+1\bigr)\cdot(8x-15).

Passo 6

Volte a substituir u(x)=4x^{2}-15x para escrever tudo em termos de x:
f'(x)=\bigl(15\left(4x^{2}-15x\right)^{2}-6\left(4x^{2}-15x\right)+1\bigr)\cdot(8x-15).
Esta é uma forma bastante prática e compacta da derivada — boa para prova, pois mostra claramente a aplicação da regra da cadeia.

Passo 7

(Se quiser a forma expandida passo a passo) Primeiro calcule \left(4x^{2}-15x\right)^{2}:
\left(4x^{2}-15x\right)^{2}=16x^{4}-120x^{3}+225x^{2}.
Multiplique por 15:
15\left(4x^{2}-15x\right)^{2}=240x^{4}-1800x^{3}+3375x^{2}.
Calcule -6\left(4x^{2}-15x\right):
-6\left(4x^{2}-15x\right)=-24x^{2}+90x.
Some os termos dentro do parêntese:
15\left(4x^{2}-15x\right)^{2}-6\left(4x^{2}-15x\right)+1 =240x^{4}-1800x^{3}+3351x^{2}+90x+1.

Passo 8

Agora multiplique esse polinômio por (8x-15). Primeiro 8x vezes o polinômio:
8x\cdot(240x^{4}-1800x^{3}+3351x^{2}+90x+1)=1920x^{5}-14400x^{4}+26808x^{3}+720x^{2}+8x.
Depois -15 vezes o polinômio:
-15\cdot(240x^{4}-1800x^{3}+3351x^{2}+90x+1)=-3600x^{4}+27000x^{3}-50265x^{2}-1350x-15.
Some ambos os resultados termo a termo para obter a forma expandida final.

Passo 9

Somando os termos obtidos no passo anterior chega-se ao polinômio final:
f'(x)=1920x^{5}-18000x^{4}+53808x^{3}-49545x^{2}-1342x-15.

Resposta

f'(x)=\bigl(15\left(4x^{2}-15x\right)^{2}-6\left(4x^{2}-15x\right)+1\bigr)\cdot(8x-15)
f'(x)=1920x^{5}-18000x^{4}+53808x^{3}-49545x^{2}-1342x-15

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