Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e objetivo:
- A função é uma combinação de potências da mesma expressão
. - O pedido é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Observação útil (substituição para simplificar a escrita): defina a expressão interna como
Com isso a função fica escrita como
onde, para não esquecer,
depende de
. A ideia é derivar
em relação a
usando a derivada da função em
combinada com a derivada de
em relação a
. Isso evita reescrever a expressão interna várias vezes e deixa a conta mais organizada.
Passo 3
Derivada da parte externa em função de
: considere a função em
Vamos derivar termo a termo usando a regra do poder (power rule): se
, então
. Aplicando:
Aqui cada coeficiente vem de multiplicar o expoente pelo coeficiente original:
,
, e
.
Passo 4
Derivada da parte interna
: calcule
Derivando termo a termo (regra do poder novamente e linearidade):
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia (derivada de composição): como
, temos
Substituindo
e
:
Passo 6
Volte a substituir
para escrever tudo em termos de
:
Esta é uma forma bastante prática e compacta da derivada — boa para prova, pois mostra claramente a aplicação da regra da cadeia.
Passo 7
(Se quiser a forma expandida passo a passo) Primeiro calcule
:
Multiplique por
:
Calcule
:
Some os termos dentro do parêntese:
Passo 8
Agora multiplique esse polinômio por
. Primeiro
vezes o polinômio:
Depois
vezes o polinômio:
Some ambos os resultados termo a termo para obter a forma expandida final.
Passo 9
Somando os termos obtidos no passo anterior chega-se ao polinômio final: