Questão 2: Tendo f(x)=\tan (x), e fazendo uso da definição de derivada, mostre que f^{\prime}(x)=\operatorname{Sec}^{2}(x) :

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: f(x)=\tan(x).
  • Pedido: mostrar, usando a definição de derivada, que f^{\prime}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).
  • Informação importante sobre domínio: a função \tan(x) está definida apenas onde \cos(x)\neq 0. Portanto a demonstração vale para todos x tais que \cos(x)\neq 0.
  • Também será usado o limite padrão \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 e a continuidade de \cos(x) (ou seja, \lim_{h\to0}\cos(x+h)=\cos x).

Passo 2

Escrevemos a derivada pela definição (quociente incremental):
f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{\tan(x+h)-\tan(x)}{h}.
Não vamos assumir a fórmula da derivada; vamos manipular essa expressão algébrica explicitamente.

Passo 3

Escrevemos cada tangente como razão entre seno e cosseno:
\frac{\tan(x+h)-\tan(x)}{h} = \frac{\dfrac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)}-\dfrac{\sin x}{\cos x}}{h}.
Colocando em um único quociente (denominador comum \cos(x+h)\cos x):
\frac{\tan(x+h)-\tan(x)}{h} = \frac{\sin(x+h)\cos x-\sin x\cos(x+h)}{h\cdot \cos(x+h)\cos x}.

Passo 4

Reconhecemos o numerador como uma identidade trigonométrica. Usando
\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B,
com A=x+h e B=x, obtemos
\sin(x+h)\cos x-\cos(x+h)\sin x=\sin\big((x+h)-x\big)=\sin h.
Portanto a diferença quociente fica
\frac{\tan(x+h)-\tan(x)}{h} = \frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos(x+h)\cos x}.

Passo 5

Tomamos o limite quando h\to0. Sabemos o limite fundamental
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1,
e, pela continuidade de \cos,
\lim_{h\to0}\cos(x+h)=\cos x.
Logo
f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos(x+h)\cos x} =1\cdot\frac{1}{\cos^{2}x}.
Finalmente usamos a definição \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} para escrever
f^{\prime}(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x,
válido para todos x com \cos x\neq 0.

Passo 6

Resumo rápido do porquê das etapas: a chave foi transformar \tan em \sin/\cos, combinar frações para obter um numerador que reduz a \sin h (graças à identidade de diferença de ângulos) e então usar o limite conhecido \sin h/h\to1 e a continuidade do cosseno. Pronto — é uma demonstração direta pela definição.

Resposta

f^{\prime}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)

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