Questão 2: Tendo
, e fazendo uso da definição de derivada, mostre que
:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
. - Pedido: mostrar, usando a definição de derivada, que
. - Informação importante sobre domínio: a função
está definida apenas onde . Portanto a demonstração vale para todos tais que . - Também será usado o limite padrão
e a continuidade de (ou seja, ).
Passo 2
Escrevemos a derivada pela definição (quociente incremental):
Não vamos assumir a fórmula da derivada; vamos manipular essa expressão algébrica explicitamente.
Passo 3
Escrevemos cada tangente como razão entre seno e cosseno:
Colocando em um único quociente (denominador comum
):
Passo 4
Reconhecemos o numerador como uma identidade trigonométrica. Usando
com
e
, obtemos
Portanto a diferença quociente fica
Passo 5
Tomamos o limite quando
. Sabemos o limite fundamental
e, pela continuidade de
,
Logo
Finalmente usamos a definição
para escrever
válido para todos
com
.
Passo 6
Resumo rápido do porquê das etapas: a chave foi transformar
em
, combinar frações para obter um numerador que reduz a
(graças à identidade de diferença de ângulos) e então usar o limite conhecido
e a continuidade do cosseno. Pronto — é uma demonstração direta pela definição.