Questāo 4: Calcule o limite, caso exista. Caso nāo exista, justifique.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-4 x+2}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-4x+2}}{x+1}
O conteúdo aqui é limite de função no infinito envolvendo raiz quadrada de polinômio. Para resolver, vamos fatorar x^2 dentro da raiz, usar que \sqrt{x^2}=|x| e considerar o sinal de x quando x\to -\infty.

Passo 2

Dentro da raiz temos
\sqrt{x^{2}-4x+2} =\sqrt{x^2\Bigl(1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}\Bigr)} =|x|\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}.
Como x\to -\infty, x é negativo e então |x|=-x. Logo
\sqrt{x^{2}-4x+2} =-x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}.

Passo 3

O denominador é
x+1 = x\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr).
Substituindo na expressão do quociente,
\frac{\sqrt{x^{2}-4x+2}}{x+1} =\frac{-x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}} {x\bigl(1+\frac{1}{x}\bigr)} =-\frac{\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}} {1+\frac{1}{x}}.

Passo 4

Agora basta tomar limite quando x\to -\infty. Temos
\frac{4}{x}\to 0,\quad \frac{2}{x^2}\to 0,\quad \frac{1}{x}\to 0,
então
\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}\to 1 \quad\text{e}\quad 1+\frac{1}{x}\to 1.
Portanto
-\frac{\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}} {1+\frac{1}{x}}\;\longrightarrow\;-1.

Resposta

-1

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