QUESTÃO 6 - Calcule as derivadas das funções dadas:
f(z)=\frac{z-3 i}{z+i 3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z)=\frac{z-3i}{z+3i}
com respeito à variável complexa z. O conteúdo envolvido é a diferenciação de funções holomorfas usando a regra do quociente, válida para z\neq -3i.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
u(z)=z-3i, \quad v(z)=z+3i.
Como são funções lineares em z, suas derivadas são
u'(z)=1, \quad v'(z)=1.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}
temos
f'(z) = \frac{1\cdot(z+3i) - (z-3i)\cdot1}{(z+3i)^2}.

Passo 4

No numerador simplificamos
(z+3i) - (z-3i) = z + 3i - z + 3i = 6i.
Portanto
f'(z)=\frac{6i}{(z+3i)^2}.

Resposta

f'(z)=\frac{6i}{(z+3i)^2},\quad z\neq -3i.

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