Resolva os exercícios abaixo.
A resistência total R de dois resistores R_{1} e R_{2}, ligados em paralelo, é dada por \frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}. Se as medidas de R_{1} e R_{2} são 100 e 200 ohm, respectivamente, com erro máximo de \pm 1 \% em cada medida, encontre uma aproximação do erro máximo no valor calculado de R.

Passo 1

O enunciado dá a resistência equivalente de dois resistores em paralelo pela fórmula
\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}},
e fornece R_{1}=100\\ \Omega e R_{2}=200\\ \Omega com erro máximo de \pm1\% em cada. Vamos usar a aproximação de propagação de erros por diferenciais parciais para estimar o erro em R.

Passo 2

Expressamos R em função de R_{1} e R_{2} isolando R:
R = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.
Para os valores nominais,
R = \frac{100 \cdot 200}{100 + 200} = \frac{20000}{300} \approx 66{,}67\\ \Omega.

Passo 3

A variação diferencial de R é
dR \approx \frac{\partial R}{\partial R_{1}}\,dR_{1} \;+\; \frac{\partial R}{\partial R_{2}}\,dR_{2}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial R}{\partial R_{1}} = \frac{R_{2}^{2}}{(R_{1}+R_{2})^{2}}, \qquad \frac{\partial R}{\partial R_{2}} = \frac{R_{1}^{2}}{(R_{1}+R_{2})^{2}}.

Passo 4

Os erros máximos nas medidas são
|dR_{1}| = 0{,}01 \times 100 = 1\\ \Omega, \qquad |dR_{2}| = 0{,}01 \times 200 = 2\\ \Omega.

Passo 5

Substituindo R_{1}=100, R_{2}=200 e os erros em cada termo, o limite para |dR| é
|dR| \le \frac{200^{2}}{300^{2}}\cdot1 \;+\; \frac{100^{2}}{300^{2}}\cdot2 = \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67\\ \Omega.

Resposta

O erro máximo aproximado em R é de \pm0{,}67\\ \Omega.

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