QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada f^{\prime}(z).
w=z^{3}

Passo 1

O enunciado pede para usar as equações de Cauchy–Riemann para verificar se a função
f(z)=z^{3}
é analítica e, em caso afirmativo, determinar seu domínio de analiticidade e calcular f'(z). Vamos precisar escrever z=x+iy, separar em u(x,y) e v(x,y), aplicar as condições de Cauchy–Riemann e depois obter a derivada.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
f(z)=(x+iy)^{3}.
Expandindo:
(x+iy)^{3} = x^{3}+3x^{2}(iy)+3x(iy)^{2}+(iy)^{3} = x^{3}+3ix^{2}y-3xy^{2}-i\,y^{3}.
Logo, identificamos
u(x,y)=x^{3}-3x y^{2}, \quad v(x,y)=3x^{2}y-y^{3}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}-3x y^{2}) =3x^{2}-3y^{2}, \quad u_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}-3x y^{2}) =-6x y,
v_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y-y^{3}) =6x y, \quad v_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y-y^{3}) =3x^{2}-3y^{2}.

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_{x}=v_{y}, \quad u_{y}=-v_{x}.
De fato,
u_{x}=3x^{2}-3y^{2}=v_{y}, \quad u_{y}=-6xy=-\,6xy=-v_{x}.
Elas são satisfeitas para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Como as condições de Cauchy–Riemann se mantêm em todo o plano e u e v possuem derivadas contínuas, f é analítica em todo o domínio \mathbb{C}.

Passo 6

A derivada complexa pode ser obtida por
f'(z)=u_{x}+i\,v_{x} =(3x^{2}-3y^{2})+i\,(6xy).
Reconhecemos que
(3x^{2}-3y^{2})+i\,6xy=3(x+iy)^{2}=3z^{2}.

Resposta

A função f(z)=z^{3} é analítica em todo o plano complexo \mathbb{C} e
f'(z)=3z^{2}.

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