QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada
.
Passo 1
O enunciado pede para usar as equações de Cauchy–Riemann para verificar se a função
é analítica e, em caso afirmativo, determinar seu domínio de analiticidade e calcular
. Vamos precisar escrever
, separar em
e
, aplicar as condições de Cauchy–Riemann e depois obter a derivada.
Passo 2
Escrevendo
, temos
Expandindo:
Logo, identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann exigem
De fato,
Elas são satisfeitas para todo
.
Passo 5
Como as condições de Cauchy–Riemann se mantêm em todo o plano e
e
possuem derivadas contínuas,
é analítica em todo o domínio
.
Passo 6
A derivada complexa pode ser obtida por
Reconhecemos que
Resposta
A função
é analítica em todo o plano complexo
e