QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada
.
Passo 1
Temos a função
dada por
onde
. Vamos testar a analiticidade usando as equações de Cauchy–Riemann: se
for holomorfa em um domínio aberto, suas componentes reais
e imaginárias
devem satisfazer
em todo ponto desse domínio.
Passo 2
Identificamos as partes real e imaginária:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
Para satisfazer ambas simultaneamente precisaríamos
e
, o que não ocorre em nenhum ponto. Logo, não existe região aberta onde as duas equações de Cauchy–Riemann valham.
Passo 5
Em vez de depender de
, a função pode ser escrita como
ou seja, depende de
e não de
. Logo
não é holomorfa em nenhum domínio aberto de
.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum domínio aberto de
.