QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada f^{\prime}(z).
w=e^{y}(\cos x+i \sin x)

Passo 1

Temos a função f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} dada por
w = f(z) = e^y\bigl(\cos x + i\sin x\bigr),
onde z=x+iy. Vamos testar a analiticidade usando as equações de Cauchy–Riemann: se f for holomorfa em um domínio aberto, suas componentes reais u(x,y) e imaginárias v(x,y) devem satisfazer
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x
em todo ponto desse domínio.

Passo 2

Identificamos as partes real e imaginária:
u(x,y) = e^y\cos x, \qquad v(x,y) = e^y\sin x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^y\cos x\bigr) = -\,e^y\sin x, \quad u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^y\cos x\bigr) = e^y\cos x,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^y\sin x\bigr) = e^y\cos x, \quad v_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^y\sin x\bigr) = e^y\sin x.

Passo 4

Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
u_x \stackrel{?}{=} v_y \quad\Longrightarrow\quad -\,e^y\sin x \stackrel{?}{=} e^y\sin x \;\Longrightarrow\; \sin x=0,
u_y \stackrel{?}{=} -\,v_x \quad\Longrightarrow\quad e^y\cos x \stackrel{?}{=} -\,e^y\cos x \;\Longrightarrow\; \cos x=0.
Para satisfazer ambas simultaneamente precisaríamos \sin x=0 e \cos x=0, o que não ocorre em nenhum ponto. Logo, não existe região aberta onde as duas equações de Cauchy–Riemann valham.

Passo 5

Em vez de depender de z, a função pode ser escrita como
f(z) = e^y e^{i x} = e^{\,i(x - i y)} = e^{\,i\overline z},
ou seja, depende de \overline z e não de z. Logo f não é holomorfa em nenhum domínio aberto de \mathbb{C}.

Resposta

A função w=e^y(\cos x + i\sin x) não é analítica em nenhum domínio aberto de \mathbb{C}.

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