QUESTÃO 3 - Determine as partes real a imaginária de cada função:
f(z)=\frac{z^{2}-4 i}{2 z+3 i}

Passo 1

O enunciado pede as partes real e imaginária da função
f(z)=\frac{z^{2}-4i}{2z+3i}.
Para isso, vamos escrever z=x+iy e racionalizar o denominador, obtendo uma fração cujo numerador é um número complexo e o denominador é real.

Passo 2

Substituindo z=x+iy temos
z^{2}-4i=(x+iy)^{2}-4i=(x^{2}-y^{2})+i(2xy-4),
2z+3i=2(x+iy)+3i=2x+i(2y+3).
Definimos
A=x^{2}-y^{2},\quad B=2xy-4,\quad C=2x,\quad D=2y+3.

Passo 3

Racionalizamos multiplicando numerador e denominador por C - iD:
\frac{A+iB}{C+iD}\cdot\frac{C - iD}{C - iD} =\frac{(A C + B D)+i\,(B C - A D)}{C^{2}+D^{2}}.
Logo
\Re f(z)=\frac{A C + B D}{C^{2}+D^{2}}, \qquad \Im f(z)=\frac{B C - A D}{C^{2}+D^{2}}.

Passo 4

Substituindo A,B,C,D e expandindo:
A C + B D =2x(x^{2}-y^{2})+(2xy-4)(2y+3) =2x^{3}+2xy^{2}+6xy-8y-12,
B C - A D =(2xy-4)\,2x-(x^{2}-y^{2})(2y+3) =2x^{2}y-3x^{2}-8x+2y^{3}+3y^{2},
C^{2}+D^{2}=4x^{2}+(2y+3)^{2}.

Passo 5

Portanto as partes real e imaginária de f(z) são
\Re f(z) =\frac{2x^{3}+2xy^{2}+6xy-8y-12}{4x^{2}+(2y+3)^{2}},
\Im f(z) =\frac{2x^{2}y-3x^{2}-8x+2y^{3}+3y^{2}}{4x^{2}+(2y+3)^{2}}.

Resposta

\Re f(z)=\dfrac{2x^{3}+2xy^{2}+6xy-8y-12}{4x^{2}+(2y+3)^{2}}
\Im f(z)=\dfrac{2x^{2}y-3x^{2}-8x+2y^{3}+3y^{2}}{4x^{2}+(2y+3)^{2}}

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