Questão 2. Determine os limites, caso existam.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da função racional
Informações dadas relevantes:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A variável
tende para .
A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Estratégia básica explicada (passo-a-passo didático). Para limites quando
de frações de polinômios, o comportamento para
muito grande é dominado pelos termos de maior grau (maior potência de
). Uma maneira algébrica e segura de aplicar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Isso transforma a expressão em termos que tendem a constantes quando
.
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 3
Agora aplicamos limites termo a termo. Sabendo que, quando
,
segue que
(Isto vem do fato simples de que dividir uma constante por
ou
com
grande produz uma quantidade cada vez menor — é a ideia intuitiva de que
no denominador “faz ir a zero”.)
Substituindo esses limites na expressão obtida no Passo 3, obtemos
Passo 4
Observação prática para a prova (truque rápido): quando os graus do numerador e do denominador são iguais (aqui ambos de grau
), o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui o coeficiente dominante do numerador é
e do denominador é
, então o limite é
. Use isso para economizar tempo, mas saiba justificar com a divisão por
caso peçam justificativa.