Questão 2. Determine os limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}+5 x-1}{x^{2}-3}=

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x \to +\infty da função racional
\frac{2x^{2}+5x-1}{x^{2}-3}.
Informações dadas relevantes:
  • Numerador: 2x^{2}+5x-1.
  • Denominador: x^{2}-3.
  • A variável x tende para +\infty.
    A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

Estratégia básica explicada (passo-a-passo didático). Para limites quando x\to\pm\infty de frações de polinômios, o comportamento para x muito grande é dominado pelos termos de maior grau (maior potência de x). Uma maneira algébrica e segura de aplicar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}). Isso transforma a expressão em termos que tendem a constantes quando x\to+\infty.
Dividindo numerador e denominador por x^{2}:
\frac{2x^{2}+5x-1}{x^{2}-3}=\frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{5x}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{2}}} =\frac{2+\dfrac{5}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{3}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora aplicamos limites termo a termo. Sabendo que, quando x\to+\infty,
\frac{1}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{2}}\to 0,
segue que
\frac{5}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{3}{x^{2}}\to 0.
(Isto vem do fato simples de que dividir uma constante por x ou x^{2} com x grande produz uma quantidade cada vez menor — é a ideia intuitiva de que x no denominador “faz ir a zero”.)
Substituindo esses limites na expressão obtida no Passo 3, obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\dfrac{5}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{3}{x^{2}}} =\frac{2+0-0}{1-0}=\frac{2}{1}=2.

Passo 4

Observação prática para a prova (truque rápido): quando os graus do numerador e do denominador são iguais (aqui ambos de grau 2), o limite quando x\to\pm\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui o coeficiente dominante do numerador é 2 e do denominador é 1, então o limite é 2/1=2. Use isso para economizar tempo, mas saiba justificar com a divisão por x^{2} caso peçam justificativa.

Resposta

2

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