Questão 4. Calcule as derivadas:
f(x)=\left(x^{3}+2 x^{2}+1\right) \cdot\left(8 x^{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(x^{3}+2x^{2}+1\bigr)\,\bigl(8x^{2}-1\bigr).
Estamos no conteúdo de derivada de produto de funções, e vamos usar a regra do produto junto com as derivadas de polinômios.

Passo 2

Seja
u(x)=x^{3}+2x^{2}+1 \quad\text{e}\quad v(x)=8x^{2}-1.
Derivando cada polinômio:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+2x^{2}+1\bigr) =3x^{2}+4x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(8x^{2}-1\bigr) =16x.

Passo 3

Aplicando a regra do produto \bigl(uv\bigr)'=u'v+uv', temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Substituindo u,u',v,v' e simplificando:
f'(x)=(3x^{2}+4x)(8x^{2}-1)+(x^{3}+2x^{2}+1)(16x).
Expandindo:
(3x^{2}+4x)(8x^{2}-1)=24x^{4}-3x^{2}+32x^{3}-4x =24x^{4}+32x^{3}-3x^{2}-4x,
(x^{3}+2x^{2}+1)(16x)=16x^{4}+32x^{3}+16x.
Somando termo a termo:
f'(x)=\bigl(24x^{4}+32x^{3}-3x^{2}-4x\bigr) +\bigl(16x^{4}+32x^{3}+16x\bigr) =40x^{4}+64x^{3}-3x^{2}+12x.

Resposta

f'(x)=40x^{4}+64x^{3}-3x^{2}+12x.

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