Use as regras de derivação (soma, produto, quociente e potência) para calcular:
f(x)=3 x^{4}-5 x^{2}+7 x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
f(x)=3x^{4}-5x^{2}+7x-2.
O que devemos devolver é a derivada da função, isto é f'(x).

Passo 2

Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
\text{(Regra da soma)}\quad (u+v)' = u' + v',
onde u e v são funções quaisquer — a derivada da soma é a soma das derivadas.
\text{(Constante multiplicativa)}\quad (c\cdot u)' = c\cdot u',
onde c é constante e u é função — pode “sair” a constante.
\text{(Regra da potência)}\quad (x^{n})' = n\,x^{n-1},ê
onde n é um número real (no caso de polinômios normalmente n é inteiro não-negativo). Aqui a variável x é a variável independente e n é o expoente.
Observação: as regras do produto e do quociente são
\text{(produto)}\quad (u\cdot v)' = u'\,v + u\,v',
\text{(quociente)}\quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}},
mas para este polinômio em particular não precisamos aplicá-las — eu as coloquei só para registro, porque o enunciado mencionou.

Passo 3

Aplicando a regra da soma: derivamos termo a termo. Primeiro termo \,3x^{4}\,.
Usamos constante multiplicativa + regra da potência. Primeiro derivada de x^{4} pela regra da potência:
(x^{4})' = 4x^{3}.
Agora multiplicamos pela constante 3:
(3x^{4})' = 3\cdot 4x^{3} = 12x^{3}.

Passo 4

Segundo termo -5x^{2}.
Derivada de x^{2} é 2x. Multiplicando pela constante -5:
(-5x^{2})' = -5\cdot 2x = -10x.

Passo 5

Terceiro termo 7x.
Podemos ver 7x como 7\cdot x. A derivada de x é 1, então:
(7x)' = 7\cdot 1 = 7.

Passo 6

Quarto termo -2 (constante).
A derivada de uma constante é 0:
(-2)' = 0.

Passo 7

Agora somamos todas as deriva-das (regra da soma):
f'(x) = (3x^{4})' + (-5x^{2})' + (7x)' + (-2)'.
Substituindo os resultados obtidos:
f'(x) = 12x^{3} -10x +7 + 0.
Simplificando:
f'(x)=12x^{3}-10x+7.

Resposta

f'(x)=12x^{3}-10x+7

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