(3,0) Questão 1. Calcule as derivadas em relação a x utilizando as regras de derivação.
f(x)=\left(\frac{x{3}-1}{x{2}+2}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\biggl(\frac{x^3-1}{x^2+2}\biggr)^{10}
ou seja, vamos usar a regra da cadeia para potências e, dentro dela, a regra do quociente para g(x)=\frac{x^3-1}{x^2+2}.

Passo 2

Pela regra da cadeia, se f(x)=[g(x)]^{10} então
f'(x)=10\,[g(x)]^{9}\,\cdot g'(x).
Aqui g(x)=\frac{x^3-1}{x^2+2}, então falta achar g'(x).

Passo 3

Para g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=x^3-1 e v(x)=x^2+2, a regra do quociente diz:
g'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{3x^2\,(x^2+2)-(x^3-1)\,2x}{(x^2+2)^2}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
- 3x^2\cdot x^2=3x^4
- 3x^2\cdot2=6x^2
- -(x^3-1)\,2x=-2x^4+2x
Somando tudo,
3x^4-2x^4+6x^2+2x = x^4+6x^2+2x.
Logo
g'(x)=\frac{x^4+6x^2+2x}{(x^2+2)^2}.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=10\,[g(x)]^{9}\,g'(x), temos
f'(x) =10\;\biggl(\frac{x^3-1}{x^2+2}\biggr)^{9} \;\cdot\frac{x^4+6x^2+2x}{(x^2+2)^2}.
Reunindo a potência do denominador,
f'(x) =10\;\frac{(x^3-1)^{9}\,(x^4+6x^2+2x)}{(x^2+2)^{9+2}} =10\;\frac{(x^3-1)^{9}\,(x^4+6x^2+2x)}{(x^2+2)^{11}}.

Resposta

f'(x) =10\,\frac{(x^3-1)^{9}\,(x^4+6x^2+2x)}{(x^2+2)^{11}}.

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