(3,0) Questão 1. Calcule as derivadas em relação a x utilizando as regras de derivação.
f(x)=\cos (\sqrt{x-1}) \operatorname{sen}\left(2 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)\,\sin\bigl(2x^2\bigr).
Aqui vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia, além das derivadas de \cos, \sin e de g(x)=\sqrt{x-1}=(x-1)^{1/2}.

Passo 2

Seja
u(x)=\cos\bigl(\sqrt{x-1}\bigr), \qquad v(x)=\sin\bigl(2x^2\bigr).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Para u(x)=\cos(g(x)) com g(x)=\sqrt{x-1}, temos
u'(x)=-\sin\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Como g(x)=(x-1)^{1/2},
g'(x)=\frac12(x-1)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}.
Logo
u'(x)=-\sin\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)\,\frac{1}{2\sqrt{x-1}}.

Passo 4

Para v(x)=\sin(h(x)) com h(x)=2x^2, pela regra da cadeia:
v'(x)=\cos\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x).
Como h'(x)=4x, obtemos
v'(x)=4x\cos\bigl(2x^2\bigr).

Passo 5

Substituindo u'(x), u(x), v'(x) e v(x) em
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
vem
f'(x) =-\frac{\sin\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)}{2\sqrt{x-1}}\;\sin\bigl(2x^2\bigr) +\cos\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)\;4x\cos\bigl(2x^2\bigr).

Resposta

f'(x) =-\frac{\sin\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)\,\sin\bigl(2x^2\bigr)}{2\sqrt{x-1}} +4x\,\cos\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)\,\cos\bigl(2x^2\bigr).

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