Questão 4. ((2,0)) Use a regra de L’Hospital para calcular os limites a seguir.
(b) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{3 x}}-\frac{1}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{1}{3x}
que é uma forma indeterminada \infty-\infty. Vamos usar álgebra para transformá-lo em 0/0 e então aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Juntamos em único quociente:
\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{1}{3x} =\frac{3x-\sqrt{3x}}{3x\sqrt{3x}}.
Para x\to0^+, o numerador 3x-\sqrt{3x}\to0 e o denominador 3x\sqrt{3x}\to0, caracterizando 0/0.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hospital, diferenciando numerador e denominador:
Numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(3x-\sqrt{3x}\bigr) =3-\frac{3}{2\sqrt{3x}}.
Denominador:
3x\sqrt{3x}=3\,x\,(3x)^{1/2},
\frac{d}{dx}\bigl(3x\sqrt{3x}\bigr) =3\Bigl(\sqrt{3x}+\frac{3x}{2\sqrt{3x}}\Bigr) =3\sqrt{3x}+\frac{9x}{2\sqrt{3x}}.
Portanto o limite vira
\lim_{x\to0^+} \frac{3-\frac{3}{2\sqrt{3x}}} {3\sqrt{3x}+\frac{9x}{2\sqrt{3x}}}.

Passo 4

Para x\to0^+, \tfrac{3}{2\sqrt{3x}}\to+\infty faz o numerador tender a -\infty, e 3\sqrt{3x}+\tfrac{9x}{2\sqrt{3x}}\to0^+. Logo a razão tende a -\infty.

Resposta

\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{1}{3x}=-\infty.

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