(3,0) Questão 1. Calcule as derivadas em relação a x utilizando as regras de derivação.
f(x)=e^{3 x} \ln \cos \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{3x}\,\ln\bigl(\cos(x^2)\bigr)
em relação a x. Vamos usar as regras de derivação de produto e cadeia:
  • para e^{3x}, usaremos a regra da exponencial composta;
  • para \ln(\cos(x^2)), aplicaremos a regra do logaritmo e, em sequência, a regra da cadeia em duas etapas \cos e x^2.

Passo 2

Calcular u(x)=\ln\bigl(\cos(x^2)\bigr). Pela regra da derivada do logaritmo e da cadeia:
u'(x) =\frac{1}{\cos(x^2)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x^2)\bigr] =\frac{1}{\cos(x^2)}\cdot\bigl(-\sin(x^2)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(x^2) =-\frac{\sin(x^2)\,2x}{\cos(x^2)} =-2x\,\tan(x^2).

Passo 3

Calcular v(x)=e^{3x}. Pela regra da exponencial composta:
v'(x)=e^{3x}\cdot\frac{d}{dx}(3x)=3\,e^{3x}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto em f(x)=v(x)\,u(x):
f'(x)=v'(x)\,u(x)+v(x)\,u'(x) =3\,e^{3x}\,\ln\bigl(\cos(x^2)\bigr) +e^{3x}\,\bigl(-2x\,\tan(x^2)\bigr).

Passo 5

Fatorando e^{3x}:
f'(x) =e^{3x}\Bigl[3\,\ln\bigl(\cos(x^2)\bigr)-2x\,\tan(x^2)\Bigr].

Resposta

f'(x)=e^{3x}\Bigl[3\,\ln\bigl(\cos(x^2)\bigr)-2x\,\tan(x^2)\Bigr].

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