Questão 3. Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x^{5}+2 x^{3}+2 \frac{\sqrt[3]{x}}{x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^5+2x^3+2\frac{\sqrt[3]{x}}{x^4}.
O conteúdo é derivada de funções polinomiais e de potências fracionárias. Vamos usar a regra da soma e a regra da potência, que diz que \frac{d}{dx}x^n=n\,x^{n-1}. Primeiro convertemos termos radicais em potências.

Passo 2

Converter o terceiro termo:
2\frac{\sqrt[3]{x}}{x^4} =2\frac{x^{\frac13}}{x^4} =2x^{\frac13-4} =2x^{-\frac{11}{3}}.
Logo
f(x)=x^5+2x^3+2x^{-\frac{11}{3}}.

Passo 3

Derivando cada parcela pela regra da potência:
\frac{d}{dx}x^5=5x^4,\quad \frac{d}{dx}(2x^3)=6x^2,\quad \frac{d}{dx}\bigl(2x^{-\tfrac{11}{3}}\bigr) =2\cdot\Bigl(-\frac{11}{3}\Bigr)x^{-\frac{11}{3}-1} =-\frac{22}{3}x^{-\frac{14}{3}}.
Somando, obtemos
f'(x)=5x^4+6x^2-\frac{22}{3}x^{-\frac{14}{3}}.

Resposta

f'(x)=5x^4+6x^2-\frac{22}{3}x^{-\frac{14}{3}}

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