Questão 7

a) Calcule o determinante da matriz
M=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right]
b) Mostre como o determinante muda se trocarmos a 1^{\mathrm{a}} e a 2^{\mathrm{a}} linha de M.

Passo 1

O enunciado pede (a) o determinante de uma matriz 3\times3 e (b) o efeito de trocar a 1ª e a 2ª linha sobre esse determinante. Vamos usar a regra de Sarrus para calcular \det(M) e em seguida a propriedade de que trocar duas linhas muda o sinal do determinante.

Passo 2

Para aplicar a regra de Sarrus em
M=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 1 & 3 & 4\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}
escrevemos as duas primeiras colunas à direita e somamos os produtos das diagonais “descendo” e subtraímos os das diagonais “subindo”:
\det(M) = \bigl(2\cdot3\cdot1 + (-1)\cdot4\cdot0 + 0\cdot1\cdot2\bigr) - \bigl(0\cdot3\cdot0 + 2\cdot4\cdot2 + (-1)\cdot1\cdot1\bigr).

Passo 3

Calculando cada soma:
2\cdot3\cdot1 = 6,\quad (-1)\cdot4\cdot0 = 0,\quad 0\cdot1\cdot2 = 0
0\cdot3\cdot0 = 0,\quad 2\cdot4\cdot2 = 16,\quad (-1)\cdot1\cdot1 = -1
Logo,
\det(M)= (6+0+0) - (0+16-1) = 6 - 15 = -9.

Passo 4

Quando trocamos a 1ª e a 2ª linha de M, o determinante multiplica por -1. Assim, se chamarmos a nova matriz de M', vale
\det(M') = -\,\det(M) = -(-9) = 9.

Resposta

a) \det(M)=-9
b) Trocando a 1ª e a 2ª linha, o determinante muda de sinal, ficando 9.

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