Nas questões de 1 a 5 , assinale \mathbf{V} se a afirmação é verdadeira e \mathbf{F} se for falsa)
Questão 5 - Sistemas lineares
a) Um sistema linear homogêneo (A matriz dos termos independentes é uma matriz nula) sempre admite a solução trivial. ( )
b) Se o determinante da matriz dos coeficientes é zero, o sistema tem infinitas soluções ou não tem solução. ( )
c) O método de escalonamento transforma o sistema em um sistema equivalente mais simples. ( )
d) A Regra de Cramer pode ser aplicada em sistemas quadrados com determinante não nulo. ( )
e) Um sistema 2 \times 2 pode não ter solução, ter uma única solução ou infinitas soluções. ( )

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmativas sobre sistemas lineares e pede para marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolve sistemas homogêneos, determinante da matriz de coeficientes, método de escalonamento, Regra de Cramer e classificação de soluções em sistemas 2\times2.

Passo 2

a) Um sistema linear homogêneo tem todos os termos independentes iguais a zero, logo a escolha (x_1,x_2,\dots,x_n)=(0,0,\dots,0) satisfaz todas as equações. Portanto, sempre existe pelo menos a solução trivial.

Passo 3

b) Para um sistema quadrado de coeficientes A, se \det(A)=0 a matriz não é invertível, o que impede existência de solução única. Nesse caso, ou há múltiplas soluções (dependência linear das equações) ou não há solução (incompatibilidade).

Passo 4

c) O método de escalonamento (eliminação de Gauss) aplica operações elementares que não alteram o conjunto de soluções, produzindo um sistema “equivalente” em forma triangular ou escalonada, mais fácil de resolver por substituição.

Passo 5

d) A Regra de Cramer exige que o sistema seja quadrado e que \det(A)\neq0. Sob essas condições, cada incógnita é dada por um quociente de determinantes, garantindo solução única.

Passo 6

e) Um sistema 2\times2 pode se enquadrar em três situações:
– se \det(A)\neq0, tem solução única;
– se \det(A)=0 e as equações forem compatíveis, tem infinitas soluções;
– se \det(A)=0 e as equações forem incompatíveis, não tem solução.

Resposta

a) V
b) V
c) V
d) V
e) V

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