Questão 6

a) Calcule a soma (A+2 B) e o produto (-5A).
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 3 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ -1 & 4 \end{array}\right] .
b) Verifique se A B=B A.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes
A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\[6pt] 0 & 3\end{bmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{bmatrix}2 & 1 \\[6pt] -1 & 4\end{bmatrix}
e pede em (a) a soma (A + 2B) e o produto escalar (-5A), e em (b) verificar se AB = BA. Para isso vamos aplicar as regras de operações elementwise para soma e escalar, e a definição de produto de matrizes (linha × coluna).]

Passo 2

Primeiro calculamos 2B elemento a elemento:
2B = 2 \cdot \begin{bmatrix}2 & 1 \\[4pt] -1 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 2 \\[4pt] -2 & 8\end{bmatrix}.
Agora somamos A + 2B elemento a elemento:
A + 2B = \begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}4 & 2 \\[4pt] -2 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1+4 & 2+2 \\[4pt] 0-2 & 3+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & 4 \\[4pt] -2 & 11\end{bmatrix}.]

Passo 3

Para -5A multiplicamos cada entrada de A por -5:
-5A = -5 \cdot \begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5 & -10 \\[4pt] 0 & -15\end{bmatrix}.]

Passo 4

Agora verificamos o produto AB e BA.
Usando a definição \bigl(AB\bigr)_{ij} = \sum_{k} A_{ik}B_{kj}:
AB = \begin{bmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot(-1) & 1\cdot1 + 2\cdot4 \\[6pt] 0\cdot2 + 3\cdot(-1) & 0\cdot1 + 3\cdot4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2-2 & 1+8 \\[4pt] 0-3 & 0+12\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 9 \\[4pt] -3 & 12\end{bmatrix}.
E
BA = \begin{bmatrix} 2\cdot1 + 1\cdot0 & 2\cdot2 + 1\cdot3 \\[6pt] (-1)\cdot1 + 4\cdot0 & (-1)\cdot2 + 4\cdot3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 4+3 \\[4pt] -1 & -2+12\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 7 \\[4pt] -1 & 10\end{bmatrix}.
Como
AB = \begin{bmatrix}0 & 9 \\[4pt] -3 & 12\end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix}2 & 7 \\[4pt] -1 & 10\end{bmatrix} = BA,
concluímos que AB não é igual a BA.]

Resposta

(a)
A + 2B = \begin{bmatrix}5 & 4 \\[4pt] -2 & 11\end{bmatrix}, \quad -5A = \begin{bmatrix}-5 & -10 \\[4pt] 0 & -15\end{bmatrix}.
(b) AB \neq BA.]

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