Questão 2: Calcule o determinente da matriz abaixo:
(cccccc1 & 1 & 0 & 2 & 3 & 8 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 -2 & 2 & 0 & 1 & 2 & 1 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0)

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 6times6 que tem vários zeros, então vamos usar expansão de Laplace (cofatores) aproveitando essas colunas com muitos zeros.

Passo 2

Expandindo ao longo da coluna 3 (onde só há um elemento não nulo, na linha 2), temos
det A = (-1)^2+3cdot 1 cdot det M ;=;-,det M,
onde M é a matriz 5times5 obtida ao eliminar a linha 2 e a coluna 3 de A.

Passo 3

Na matriz
M= 1 & 1 & 2 & 3 & 8 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & -2 &0 &0 &0 -2 &2 &1 &2 &1 0 &4 &0 &0 &0
a última linha é (0,4,0,0,0), ou seja, só tem um não zero em (5,2). Expandindo aí:
det M = (-1)^5+2cdot 4cdot det N ;=;-4,det N,
onde N é o 4times4 que sobra eliminando a linha 5 e a coluna 2 de M.

Passo 4

A matriz
N= 1 & 2 & 3 & 8 1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 2 & 1
tem a terceira linha (1,0,0,0), com único não nulo em (3,1). Expandindo aí:
det N = (-1)^3+1cdot1cdotdet P ;=;det P,
onde P é o 3times3 formado pelas linhas 1,2,4 e colunas 2,3,4 de N.

Passo 5

O menor
P= 2 & 3 & 8 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1
tem determinante
det P =21&12&1 -31&11&1 +81&11&2 =2(-1)-3cdot0+8cdot1 =6

Passo 6

Voltando aos valores parciais:
det N=6,
det M=-4cdot6=-24
e, por fim,
det A=-,det M=24.

Resposta

24

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