Questão 3: Seja A=(ccc1 & -t & 1 0 & t^2 & t -t & 1 & 1). Para quais valores de t o sistema A(lx y z)= (l1 1 1) será:
a. Possível e determinado?
b. Impossível?
c. Possível e indeterminado?

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
e pede para quais valores de o sistema
é (a) possível e determinado, (b) impossível, (c) possível e indeterminado.
O conteúdo usado será determinante para achar unicidade e eliminação Gaussiana para estudar consistência quando o determinante for zero.

Passo 2

Calculemos o determinante de A em função de t. Usando a expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotdett^2&t1&1 -(-t)cdotdet0&t-t&1 +1cdotdet0&t^2-t&1
Cada cofator dá
dett^2&t1&1=t^2-t, det0&t-t&1=t^2, det0&t^2-t&1=t^3
Logo
det(A) = (t^2 - t) + t,(t^2) + t^3 = 2t^3 + t^2 - t = t,(2t^2 + t - 1) = t,(2t-1),(t+1)

Passo 3

O sistema tem solução única (possível e determinado) se e só se det(A)neq0. Portanto
única solução Long<=ftrightarrow tneq0, tneq12, tneq-1 úçã

Passo 4

Analisemos agora os casos em que det(A)=0, ou seja t=0, t=tfrac12, t=-1.
Para t=0 temos
A= 1&0&1 0&0&0 0&1&1 , l[Amid br]= 1&0&1&mid&1 0&0&0&mid&1 0&1&1&mid&1
A segunda linha diz 0=1, impossível. Logo t=0 torna o sistema inconsistente.

Passo 5

Para t=12 temos
A= 1&-tfrac12&1 0&tfrac14&tfrac12 -tfrac12&1&1
Eliminando a terceira linha com a primeira:
L3>=tsL3+tfrac12,L1
consegue-se uma linha nula no coeficiente mas não no termo independente, gerando contradição 0=-tfrac32. Logo também é impossível.

Passo 6

Para a matriz fica
em que a primeira e terceira linhas coincidem, e o sistema permanece consistente (a linha extra não acrescenta restrição). Assim
,
o que dá infinitas soluções (possível e indeterminado).

Resposta

a) Possível e determinado para
tneq0, tneqtfrac12, tneq-1
b) Impossível para
t=0e t=tfrac12
c) Possível e indeterminado para
t=-1

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