Questão 4: Considere o subconjunto
de vetores do
definido por
.
a. Prove que
é um subespaço vetorial de
.
b. O vetor
pertence a
? O vetor
pertence a
?
c. Determine uma base e a dimensão de
.
d. Seja
. Determine bases para os subespaços
e
.
a. Prove que
b. O vetor
c. Determine uma base e a dimensão de
d. Seja
Passo 1
O enunciado trata de subespaços de
. Precisamos usar a definição de subespaço vetorial (contém o zero, fechado sob soma e produto por escalar), testar pertencer a
, parametrizar
para achar base e dimensão, e por fim calcular interseção e soma de subespaços usando sistemas lineares e a fórmula
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço, note que
- O vetor nulo
satisfaz e , logo está em . - Se
e estão em , então e . Sua soma é e , , logo está em . - Se
e , então satisfaz , , logo .
Portantoé subespaço de .
Passo 3
Para
temos
mas
, então
.
Para temos
e
, logo
.
Para
Passo 4
Como em
exige-se
e
, todo vetor em
é
Logo , sua dimensão é
e uma base é
.
Passo 5
Dado , buscamos
. Um vetor genérico em
é
Para estar em
precisamos
Da segunda eq.
. Então da primeira
. Só resta o vetor zero. Logo
que tem dimensão zero e base vazia.
Passo 6
Como
(os geradores são LI) e
,
Então
. Uma base natural de
é a união dos geradores de
e
, por exemplo
que areja independentes e gera todo
.
Resposta
a.
é subespaço vetorial de
.
b. ;
.
c. Uma base de é
e
.
d. (base vazia, dimensão 0).
, por exemplo com base
.
b.
c. Uma base de
d.