Questão 4: Considere o subconjunto U de vetores do R^3 definido por U= (x, y, z) mid x-y=z=0.
a. Prove que U é um subespaço vetorial de R^3.
b. O vetor v=(1,1,1) pertence a U ? O vetor (1,1,0) pertence a U ?
c. Determine uma base e a dimensão de U.
d. Seja W=[(1,-1,0),(-1,0,2)]. Determine bases para os subespaços U cap W e U+W.

Passo 1

O enunciado trata de subespaços de R^3. Precisamos usar a definição de subespaço vetorial (contém o zero, fechado sob soma e produto por escalar), testar pertencer a U, parametrizar U para achar base e dimensão, e por fim calcular interseção e soma de subespaços usando sistemas lineares e a fórmula
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)

Passo 2

Para mostrar que
U=(x,y,z)mid x-y=0,;z=0
é subespaço, note que
  1. O vetor nulo (0,0,0) satisfaz 0-0=0 e 0=0, logo está em U.
  2. Se (x1,y1,0) e (x2,y2,0) estão em U, então x1=y1 e x2=y2. Sua soma é (x1+x2,y1+y2,0) e (x1+x2)-(y1+y2)=0, z=0, logo está em U.
  3. Se (x,y,0)in U e lambdainR, então lambda(x,y,0)=(lambda x,lambda y,0) satisfaz lambda x-lambda y=lambda(x-y)=0, z=0, logo lambda(x,y,0)in U.
    Portanto U é subespaço de R^3.

Passo 3

Para (1,1,1) temos x-y=1-1=0 mas z=1neq0, então (1,1,1)notin U.
Para (1,1,0) temos 1-1=0 e z=0, logo (1,1,0)in U.

Passo 4

Como em exige-se e , todo vetor em é
Logo , sua dimensão é e uma base é .

Passo 5

Dado , buscamos . Um vetor genérico em é
Para estar em precisamos
Da segunda eq. . Então da primeira . Só resta o vetor zero. Logo
que tem dimensão zero e base vazia.

Passo 6

Como dim W=2 (os geradores são LI) e dim(Ucap W)=0,
dim(U+W)=dim U+dim W-0=1+2=3
Então U+W=R^3. Uma base natural de U+W é a união dos geradores de U e W, por exemplo
(1,1,0),,(1,-1,0),,(-1,0,2),
que areja independentes e gera todo R^3.

Resposta

a. U é subespaço vetorial de R^3.
b. (1,1,1)notin U; (1,1,0)in U.
c. Uma base de U é (1,1,0) e dim U=1.
d. Ucap W=0 (base vazia, dimensão 0).
U+W=R^3, por exemplo com base (1,1,0),(1,-1,0),(-1,0,2).

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