Questão 8. Calcule a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos:
P=(1,-1) e r:lx=2-t y=t, para t in R;

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(1,-1) à reta r dada pela forma paramétrica
x=2-t, y=t tinR
Este é um problema de geometria analítica em que vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta no plano.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, primeiro extraímos um ponto base P0 da reta e seu vetor diretor v.
Escolhendo t=0, um ponto da reta é
P0=(2,0)
Da parametrização vemos que, ao aumentar t, o incremento em (x,y) é
v=(-1,1),
pois x decresce de 1 quando t cresce de 1, e y cresce de 1.

Passo 3

Um vetor normal n=(A,B) é perpendicular a v. Como
(-1,1)cdot(A,B)=0
basta escolher A=1 e B=1. Assim a forma implícita da reta é
A(x-x0)+B(y-y0)=0 Longrightarrow 1,(x-2)+1,(y-0)=0
ou seja
x+y-2=0

Passo 4

A distância de P=(1,-1) à reta x+y-2=0 é dada por
l|A xP + B yP + Cr|raizA^2+B^2 =l|1cdot1 + 1cdot(-1) -2r|raiz1^2+1^2 =l|-2r|raiz2 =2raiz2 =raiz2

Resposta

A distância de P à reta r é raiz2.

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