Questão 6. Um quadrado A B C D tem diagonal B D contida na reta lx=1 y=t. Sabendo que A=(0,0), determine os vértices B, C e D.

Passo 1

O enunciado diz que A B C D é um quadrado com A=(0,0) e que a diagonal B D está contida na reta x=1. Precisamos encontrar as coordenadas de B, C e D. Para isso vamos usar propriedades de quadrado:
  1. Os dois diagonais se cortam no mesmo ponto (o centro) e se bissetam mutuamente.
  2. As diagonais de um quadrado têm comprimentos iguais e são perpendiculares.

Passo 2

Como BD está sobre a reta x=1, podemos escrever
B=(1,b), D=(1,d)
O ponto médio da diagonal BD é
E=l(1,,(b+d)/2r)
Por outro lado, E é também o ponto médio de AC. Escrevendo C=(xC,yC), temos
E=l(tfrac0+xC2,;tfrac0+yC2r)=l(xC/2,;yC/2r)

Passo 3

Da perpendicularidade das diagonais: como BD é vertical, a diagonal AC é horizontal, logo yC=0. Assim
C=(xC,0),
e igualando as abscissas do ponto médio:
xC/2=1Longrightarrow xC=2
Fica então
C=(2,0),
e igualando as ordenadas do ponto médio:
yC/2=(b+d)/2Longrightarrow 0=(b+d)Longrightarrow b+d=0

Passo 4

Igualando os comprimentos das diagonais:
|AC| = |BD|
Compute
|AC| = l|(2,0)-(0,0)r| = 2,
e
|BD| = |b-d|
Logo
|b-d|=2,
com b+d=0 implica d=-b, de onde
|b-(-b)| = 2|b| = 2Longrightarrow |b|=1
Logo as soluções são (b,d)=(1,-1) ou (b,d)=(-1,1).

Passo 5

Escolhendo a ordenação usual Ato Bto Cto D no sentido anti-horário, tomamos
b=-1, d=1
Assim
B=(1,-1), D=(1,1), C=(2,0)

Resposta

B=(1,-1), C=(2,0) e D=(1,1).

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