Questão 7. Sejam r: B x+4 y=C e s:lx=1-2 t y=t+3, para t in R. Determine, se possível:
(a) B, tal que r e s sejam paralelos;
(b) B, tal que r e s sejam perpendiculares;
(c) C, tal que r=s.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: Bx + 4y = C
e a parametrização da reta
s: x = 1 - 2t, y = t + 3, tinR
Aqui o conteúdo é estudo de direção e normal de retas no plano. Para resolver, vamos extrair o vetor direção de s e o vetor normal de r, e depois usar condições de paralelismo, perpendicularidade e coincidência de retas.

Passo 2

Extraímos o vetor direção de s e o vetor normal de r:
vec ds = (-2,,1), vec nr = (B,,4)
Um vetor direção vec dr de r é qualquer vetor ortogonal a vec nr, por exemplo
vec dr = (4,,-B),
pois vec nrcdotvec dr = Bcdot4 + 4cdot(-B)=0.

Passo 3

Para r e s serem paralelas, basta que vec ds seja múltiplo de vec dr. Escrevendo
(-2,,1) = k,(4,,-B),
temos do primeiro componente -2 = 4kRightarrow k=-tfrac12. Então do segundo componente
1 = -B,k = -Bl(-tfrac12r)=B2 Longrightarrow B = 2

Passo 4

Para r e s serem perpendiculares, basta que vec dscdotvec dr=0. Usando vec dr=(4,-B),
(-2,,1)cdot(4,,-B) = -2cdot4 + 1cdot(-B) = -8 - B = 0 Longrightarrow B = -8

Passo 5

Para r e s coincidirem (ou seja, serem exatamente a mesma reta), precisamos de duas coisas: (i) elas são paralelas e (ii) todo ponto de s satisfaz a equação de r.
(i) Já vimos que paralelismo exige B=2.
(ii) Substituímos x=1-2t e y=t+3 em Bx+4y=C com B=2:
2(1-2t) + 4(t+3) = C Longrightarrow 2 - 4t + 4t + 12 = C Longrightarrow 14 = C
Portanto só existe coincidência se B=2 e C=14.

Resposta

(a) B = 2.
(b) B = -8.
(c) Para requiv s é necessário B=2 e então C=14; se Bneq2 não há escolha de C que faça as retas coincidirem.

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