Questão 7. Sejam
e
, para
. Determine, se possível:
(a)
, tal que
e
sejam paralelos;
(b)
, tal que
e
sejam perpendiculares;
(c)
, tal que
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a reta
e a parametrização da reta
Aqui o conteúdo é estudo de direção e normal de retas no plano. Para resolver, vamos extrair o vetor direção de
e o vetor normal de
, e depois usar condições de paralelismo, perpendicularidade e coincidência de retas.
Passo 2
Extraímos o vetor direção de
e o vetor normal de
:
Um vetor direção
de
é qualquer vetor ortogonal a
, por exemplo
pois
.
Passo 3
Para
e
serem paralelas, basta que
seja múltiplo de
. Escrevendo
temos do primeiro componente
. Então do segundo componente
Passo 4
Para
e
serem perpendiculares, basta que
. Usando
,
Passo 5
Para
e
coincidirem (ou seja, serem exatamente a mesma reta), precisamos de duas coisas: (i) elas são paralelas e (ii) todo ponto de
satisfaz a equação de
.
(i) Já vimos que paralelismo exige .
(ii) Substituímos e
em
com
:
(i) Já vimos que paralelismo exige
(ii) Substituímos
Portanto só existe coincidência se
e
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Para é necessário
e então
; se
não há escolha de
que faça as retas coincidirem.
(b)
(c) Para