Questão 8. Calcule a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos:
P=(3,1) e r: y=2 x+3;

Passo 1

Então, o que a gente tem? Um ponto P=(3,1) e uma reta r dada por
y = 2x + 3
A matéria é “distância de ponto à reta” na geometria analítica.
O que vamos precisar:
  1. Converter a reta pro formato Ax + By + C = 0.
  2. Usar a fórmula
d = l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2 + B^2

Passo 2

Converter y = 2x + 3 para Ax + By + C = 0:
y - 2x - 3 = 0 Longrightarrow -2x + y - 3 = 0 Longrightarrow 2x - y + 3 = 0
Logo, A = 2, B = -1, C = 3.

Passo 3

A fórmula da distância de P=(x0,y0) à reta Ax + By + C = 0 é
d = l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2 + B^2
Isso garante a menor distância (perpendicular) do ponto até a reta.

Passo 4

Substituindo x0=3, y0=1, A=2, B=-1, C=3:
Numerador:
l|2cdot3 + (-1)cdot1 + 3r| = |6 - 1 + 3| = |8| = 8
Denominador:
raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5

Passo 5

Então a distância é
d = 8raiz5
Se quiser deixar sem radical no denominador:
d = 8raiz55

Resposta

A distância do ponto P=(3,1) à reta r:y=2x+3 é
boxedd = 8raiz5l(ou 8raiz55r)

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