Questão 9. Determine a distância entre as retas r e s abaixo:
r:lx=t+3 y=4+t e s:lx=-3-t y=2-t;

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica no plano e pede a distância entre elas. Isso envolve o conteúdo de distância entre duas retas paralelas em R^2, usando um vetor normal e a fórmula
d = l|PQcdot nr||n|

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta para verificar que são paralelas:
r: direção ,u=(1,1),
s: direção ,v=(-1,-1).
Como v=-u, as retas são paralelas.

Passo 3

Um vetor normal a ambas as retas é, por exemplo,
n=(1,-1),
pois ucdot n=1cdot1+1cdot(-1)=0.

Passo 4

Escolhemos um ponto em cada reta, tomando t=0 em cada uma:
Ponto em r: P=(3,4).
Ponto em s: Q=(-3,2).

Passo 5

Calculamos o vetor PQ=Q-P=(-6,-2) e aplicamos a fórmula:
PQcdot n = (-6)cdot1 + (-2)cdot(-1) = -4,
|n| = raiz1^2+(-1)^2 = raiz2,
d = l|PQcdot nr||n| = 4raiz2 = 2raiz2

Resposta

A distância entre as retas é 2raiz2.

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