Questão 3. Determinar o campo vetor gradiente de
e esboçá-lo:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
. O que é pedido:
- Determinar o campo vetorial gradiente de
, isto é, encontrar . - Esboçar esse campo vetorial (mostrar como são as setas em alguns pontos e explicar como desenhar o campo).
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
.\n - Não há restrição de domínio explícita, logo consideramos
.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calcular:
- O gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais de . Em notação:
- Intuição: a derivada parcial com respeito a
mede a variação de quando só muda e fica fixo; a derivada parcial com respeito a mede a variação de quando só muda e fica fixo. - Propriedades úteis (para esboço):
aponta na direção de maior crescimento de e é perpendicular às curvas de nível .
Passo 3
Calcular
:
- A função é
. Tratando como constante e derivando em relação a : - A derivada de
em relação a é (porque é multiplicado por uma constante ). - A derivada de
em relação a é . - Portanto,
Passo 4
Calcular
:
- Agora tratamos
como constante e derivamos em relação a . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (porque não depende de ). - Assim,
Passo 5
Montar o gradiente:
- Juntando as duas derivadas parciais temos o campo gradiente:
- Isso significa que em cada ponto
a seta do campo tem componente -igual a e componente -igual a .
Passo 6
Interpretação geométrica e dicas para esboçar:
- Curvas de nível: resolvendo
obtemos , ou seja (hipérbolas deslocadas). O gradiente em cada ponto é perpendicular a essas hipérbolas. - Direção de crescimento:
aponta no sentido de aumento de . Por exemplo, em pontos onde a componente horizontal é positiva (setas para a direita); onde a componente horizontal é negativa (setas para a esquerda). - A componente vertical do vetor é
: quando a seta aponta para cima; quando aponta para baixo.
Passo 7
Exemplos numéricos (úteis para desenhar setas em uma malha):
- Em
: . Setinha para a esquerda, comprimento . - Em
: . Vetor nulo (ponto crítico). - Em
: . Setinha para cima e um pouco para a esquerda. - Em
: . Setinha vertical apontando para cima. - Em
: . Setinha para cima-esquerda. - Em
: . Setinha para baixo-direita.
Ao esboçar:
- Marque uma grade de pontos
(por exemplo inteiros). - Em cada ponto desenhe a seta com direção e sentido dados por
. Pode normalizar (reduzir/comprimir vetores) para melhor visualização das direções se as magnitudes variarem muito. - Note especialmente o ponto
onde a seta some (vetor nulo). Ao redor dele, as setas mudam de direção (indicando um ponto tipo sela — ver próximo passo).
Passo 8
Ponto crítico e classificação rápida:
- Ponto crítico: resolver
dá e , logo ponto crítico em . - Classificação (uso da Hessiana): as segundas derivadas são
A matriz Hessiana é
e seu determinante é
, portanto o ponto crítico é uma sela (saddle point). Isso combina com o esboço: setas apontam em sentidos opostos em direções distintas ao redor de
.]
Passo 9
Como apresentar o esboço na prova (passo a passo prático):
- Desenhe alguns ramos das curvas de nível (por exemplo para
) usando para visualizar as hipérbolas deslocadas. - Marque uma grade de pontos
inteiros (por exemplo de a ). - Em cada ponto desenhe a seta
. Use exemplos do Passo 7 para posicionar as setas. - Indique o ponto crítico
e note que a seta ali é nula. - Opcional: normalize as setas para ver direções só (divida cada vetor por sua magnitude) se quiser evitar setas muito longas.
Resposta
Esboço: campo com vetores
; por exemplo
,
,
,
,
.