Questão 3. Determinar o campo vetor gradiente de f e esboçá-lo:
f(x, y)=x y-2 x;

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x y - 2 x. O que é pedido:
  • Determinar o campo vetorial gradiente de f, isto é, encontrar \nabla f(x,y).
  • Esboçar esse campo vetorial (mostrar como são as setas em alguns pontos e explicar como desenhar o campo).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita \,f(x,y)=x y-2x.\n
  • Não há restrição de domínio explícita, logo consideramos (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calcular:
  • O gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Em notação:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Intuição: a derivada parcial com respeito a x mede a variação de f quando só x muda e y fica fixo; a derivada parcial com respeito a y mede a variação de f quando só y muda e x fica fixo.
  • Propriedades úteis (para esboço): \nabla f aponta na direção de maior crescimento de f e é perpendicular às curvas de nível f(x,y)=\text{constante}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • A função é f(x,y)=xy-2x. Tratando y como constante e derivando em relação a x:
  • A derivada de xy em relação a x é y (porque xy é x multiplicado por uma constante y).
  • A derivada de -2x em relação a x é -2.
  • Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y-2.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Agora tratamos x como constante e derivamos em relação a y.
  • A derivada de xy em relação a y é x.
  • A derivada de -2x em relação a y é 0 (porque -2x não depende de y).
  • Assim,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x.

Passo 5

Montar o gradiente:
  • Juntando as duas derivadas parciais temos o campo gradiente:
\nabla f(x,y)=\bigl(y-2,\;x\bigr).
  • Isso significa que em cada ponto (x,y) a seta do campo tem componente x-igual a y-2 e componente y-igual a x.

Passo 6

Interpretação geométrica e dicas para esboçar:
  • Curvas de nível: resolvendo f(x,y)=c obtemos x(y-2)=c, ou seja y=2+\dfrac{c}{x} (hipérbolas deslocadas). O gradiente em cada ponto é perpendicular a essas hipérbolas.
  • Direção de crescimento: \nabla f aponta no sentido de aumento de f. Por exemplo, em pontos onde y>2 a componente horizontal y-2 é positiva (setas para a direita); onde y<2 a componente horizontal é negativa (setas para a esquerda).
  • A componente vertical do vetor é x: quando x>0 a seta aponta para cima; quando x<0 aponta para baixo.

Passo 7

Exemplos numéricos (úteis para desenhar setas em uma malha):
  • Em (0,0): \nabla f(0,0)=(0-2,\;0)=(-2,0). Setinha para a esquerda, comprimento 2.
  • Em (0,2): \nabla f(0,2)=(2-2,\;0)=(0,0). Vetor nulo (ponto crítico).
  • Em (1,1): \nabla f(1,1)=(1-2,\;1)=(-1,1). Setinha para cima e um pouco para a esquerda.
  • Em (2,2): \nabla f(2,2)=(2-2,\;2)=(0,2). Setinha vertical apontando para cima.
  • Em (2,0): \nabla f(2,0)=(0-2,\;2)=(-2,2). Setinha para cima-esquerda.
  • Em (-1,3): \nabla f(-1,3)=(3-2,\;-1)=(1,-1). Setinha para baixo-direita.
Ao esboçar:
  • Marque uma grade de pontos (x,y) (por exemplo inteiros).
  • Em cada ponto desenhe a seta com direção e sentido dados por \bigl(y-2,\;x\bigr). Pode normalizar (reduzir/comprimir vetores) para melhor visualização das direções se as magnitudes variarem muito.
  • Note especialmente o ponto (0,2) onde a seta some (vetor nulo). Ao redor dele, as setas mudam de direção (indicando um ponto tipo sela — ver próximo passo).

Passo 8

Ponto crítico e classificação rápida:
  • Ponto crítico: resolver \nabla f(x,y)= (0,0) y-2=0 e x=0, logo ponto crítico em (0,2).
  • Classificação (uso da Hessiana): as segundas derivadas são
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=1.
A matriz Hessiana é \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} e seu determinante é -1<0, portanto o ponto crítico é uma sela (saddle point). Isso combina com o esboço: setas apontam em sentidos opostos em direções distintas ao redor de (0,2).]

Passo 9

Como apresentar o esboço na prova (passo a passo prático):
  1. Desenhe alguns ramos das curvas de nível (por exemplo para c=-2,-1,0,1,2) usando y=2+\dfrac{c}{x} para visualizar as hipérbolas deslocadas.
  2. Marque uma grade de pontos (x,y) inteiros (por exemplo de -2 a 2).
  3. Em cada ponto desenhe a seta (y-2,x). Use exemplos do Passo 7 para posicionar as setas.
  4. Indique o ponto crítico (0,2) e note que a seta ali é nula.
  5. Opcional: normalize as setas para ver direções só (divida cada vetor por sua magnitude) se quiser evitar setas muito longas.

Resposta

\nabla f(x,y)=\bigl(y-2,\;x\bigr)
Esboço: campo com vetores (y-2,x); por exemplo \nabla f(0,0)=(-2,0), \nabla f(0,2)=(0,0), \nabla f(1,1)=(-1,1), \nabla f(2,2)=(0,2), \nabla f(2,0)=(-2,2).

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