QUESTÃO 1 - Cálculo de integrais triplas em regiões não retangulares Na prova vai ser só uma alternativa desse tipo.
\quad \mathrm{I}=\int_{1}^{2} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y} y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\mathrm{I}=\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x+y}y\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é cálculo de integrais triplas em regiões não retangulares, usando integração iterada (Teorema de Fubini) numa função polinomial contínua.

Passo 2

Começamos integrando em z, pois o integrando y é constante em relação a z:
\int_{0}^{x+y}y\,dz = y\Bigl[z\Bigr]_{0}^{x+y} = y\,(x+y).

Passo 3

Substituindo, ficamos com
\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}y(x+y)\,dy\,dx.
Agora integramos em y:
\int_{0}^{x}y(x+y)\,dy = \int_{0}^{x}(xy + y^2)\,dy = x\int_{0}^{x}y\,dy + \int_{0}^{x}y^2\,dy = x\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} = \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{3}x^3 = \frac{5}{6}x^3.

Passo 4

Só falta integrar em x:
\int_{1}^{2}\frac{5}{6}x^3\,dx = \frac{5}{6}\int_{1}^{2}x^3\,dx = \frac{5}{6}\Bigl[\frac{x^4}{4}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{5}{6}\cdot\frac{16-1}{4} = \frac{75}{24} = \frac{25}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{8}

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