QUESTÃO 1 - Cálculo de integrais triplas em regiões não retangulares Na prova vai ser só uma alternativa desse tipo.
\mathrm{I}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{y}\left(x^{3}-3 y\right) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\mathrm{I}=\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x}\!\int_{0}^{y}\bigl(x^{3}-3y\bigr)\,dz\,dy\,dx
sobre a região não retangular
0 \le z \le y \le x \le 1.
O conteúdo é integração iterada em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Como o integrando \,x^{3}-3y não depende de z, a integral interna em z é
\int_{0}^{y}\bigl(x^{3}-3y\bigr)\,dz =(x^{3}-3y)\,\bigl[y-0\bigr] =x^{3}y-3y^{2}.

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a x:
\int_{0}^{x}\bigl(x^{3}y-3y^{2}\bigr)\,dy =x^{3}\int_{0}^{x}y\,dy -3\int_{0}^{x}y^{2}\,dy =x^{3}\,\frac{x^{2}}{2}-3\,\frac{x^{3}}{3} =\frac{x^{5}}{2}-x^{3}.

Passo 4

Por fim, integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{x^{5}}{2}-x^{3}\Bigr)\,dx =\frac{1}{2}\,\frac{x^{6}}{6}\Big|_{0}^{1} -\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{12}-\frac{1}{4} =-\frac{1}{6}.

Resposta

\mathrm{I}=-\frac{1}{6}.

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