Questão 2.Calcule, se existir, o seguinte limite ou mostre que ele não existe, caso contrário:
\lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{x-1}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to1}x^{\frac{1}{x-1}}
que é uma indeterminação do tipo 1^\infty. Vamos usar conteúdo de limites envolvendo exponencial e logaritmo, além do Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to1}x^{\frac{1}{x-1}}.
Para eliminar a indeterminação 1^\infty, fazemos o logaritmo
\ln L = \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}.

Passo 3

O limite
\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}
é uma indeterminação 0/0, então aplicamos o Teorema de L’Hôpital: derivando numerador e denominador obtemos
\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x-1)} =\lim_{x\to1}\frac{1/x}{1} =1.

Passo 4

Como \ln L = 1, temos
L = e^{\ln L} = e^1 = e.

Resposta

e

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