Questão 4.Calcule, se existir, o seguinte limite ou mostre que ele não existe, caso contrário:
\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\bigr).
Para isso, vamos usar a expansão de Taylor para radicais: se u=o(x) quando x\to\infty, então
\sqrt{x+u} =\sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{u}{x}} =\sqrt{x}\Bigl(1+\frac{u}{2x}+o\bigl(\tfrac{u}{x}\bigr)\Bigr) =\sqrt{x}+\frac{u}{2\sqrt{x}}+o\Bigl(\frac{u}{\sqrt{x}}\Bigr).

Passo 2

Definimos o radical interior
R_{1}=\sqrt{x+\sqrt{x}}.
Aqui temos u=\sqrt{x} e \tfrac{u}{x}=x^{-1/2}\to0, logo
R_{1} =\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+o(1) =\sqrt{x}+\tfrac12+o(1).

Passo 3

Em seguida, consideramos o termo externo T=\sqrt{x+R_{1}}.
Novamente R_{1}=\sqrt{x}+O(1), então pela mesma fórmula com u=R_{1} temos
T =\sqrt{x}+\frac{R_{1}}{2\sqrt{x}}+o(1) =\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}+\tfrac12+o(1)}{2\sqrt{x}}+o(1) =\sqrt{x}+\tfrac12+o(1).

Passo 4

Portanto a diferença original é
\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x} =T-\sqrt{x} =\tfrac12+o(1).
Como o(1)\to0 quando x\to+\infty, concluímos que o limite existe e vale \tfrac12.

Resposta

\tfrac12

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