Questão 3.Calcule, se existirem, os seguintes limites ou mostre que eles não existem, caso contrário:
e
\begin{gathered} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin (x)} \\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\cos (x)-1} . \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede dois limites quando x se aproxima de zero:
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{x}{\cos(x)-1}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de formas indeterminadas, que podemos resolver usando desenvolvimento em séries de Taylor ou a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Para \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)}, usamos o fato de que, em torno de zero, a expansão de Taylor de \sin(x) é
\sin(x)=x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).
Substituindo no quociente,
\frac{x}{\sin(x)} = \frac{x}{\,x - \tfrac{x^3}{6} + o(x^3)\,} = \frac{1}{\,1 - \tfrac{x^2}{6} + o(x^2)\,}.
À medida que x\to0, o termo \tfrac{x^2}{6} e o(x^2) vão a zero, logo
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)}=1.

Passo 3

Agora para \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\cos(x)-1}, notamos que \cos(x)-1\to0 quando x\to0. A expansão de Taylor de \cos(x) em zero é
\cos(x)=1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2),
logo
\cos(x)-1 = -\frac{x^2}{2} + o(x^2).
Então
\frac{x}{\cos(x)-1} = \frac{x}{-\tfrac{x^2}{2} + o(x^2)} = \frac{x}{-\,\tfrac{x^2}{2}}\bigl(1 + o(1)\bigr) = -\frac{2}{x}\bigl(1 + o(1)\bigr).
À medida que x\to0, -2/x tende a -\infty se x\to0^+ e a +\infty se x\to0^-. Como os dois lados não coincidem, o limite não existe (nem mesmo no sentido de infinito único).

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)}=1. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\cos(x)-1} não existe.

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