Questão 3.Calcule, se existirem, os seguintes limites ou mostre que eles não existem, caso contrário:
e
e
Passo 1
O enunciado pede dois limites quando
se aproxima de zero:
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de formas indeterminadas, que podemos resolver usando desenvolvimento em séries de Taylor ou a regra de l’Hôpital.
Passo 2
Para
, usamos o fato de que, em torno de zero, a expansão de Taylor de
é
Substituindo no quociente,
À medida que
, o termo
e
vão a zero, logo
Passo 3
Agora para
, notamos que
quando
. A expansão de Taylor de
em zero é
logo
Então
À medida que
,
tende a
se
e a
se
. Como os dois lados não coincidem, o limite não existe (nem mesmo no sentido de infinito único).