Questão 5.Calcule, se existir, o seguinte limite ou mostre que ele não existe, caso contrário:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+79 x^{2}+80 x+10}{x^{10}+2025 x^{8}+x+73}

Passo 1

O exercício pede o limite, quando x\to+\infty, da função racional
\frac{x^{3}+79x^{2}+80x+10}{x^{10}+2025x^{8}+x+73}.
O conteúdo aqui é limites de funções polinomiais (racionais) no infinito, em que comparamos os graus do numerador e do denominador.

Passo 2

Para tornar claro o comportamento, dividimos numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^{10}. Assim:
\frac{x^{3}+79x^{2}+80x+10}{x^{10}+2025x^{8}+x+73} = \frac{x^{-7}+79x^{-8}+80x^{-9}+10x^{-10}}{1+2025x^{-2}+x^{-9}+73x^{-10}}.

Passo 3

Quando x\to+\infty, todos os termos com potência negativa de x tendem a zero. Ou seja,
x^{-7},\,x^{-8},\,x^{-9},\,x^{-10},\,x^{-2}\longrightarrow 0.
Logo o numerador vai a 0 e o denominador tende a 1.

Passo 4

Portanto o quociente tende a
\frac{0}{1}=0.

Resposta

0

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