Questão 6.Calcule, se existir, o seguinte limite ou mostre que ele não existe, caso contrário:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{x}{\operatorname{cossec}(x)}-x \cdot \operatorname{cossec}(x)\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\Bigl[\frac{x}{\operatorname{cossec}(x)}-x\cdot\operatorname{cossec}(x)\Bigr].
Aqui \operatorname{cossec}(x)=\csc(x). Vamos usar álgebra de funções trigonométricas e limites padrão, como \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1 e \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)}=1.

Passo 2

Reescrevendo cada termo em função de \sin(x):
\frac{x}{\csc(x)}=x\sin(x), \qquad x\cdot\csc(x)=\frac{x}{\sin(x)}.
Logo a diferença fica
x\sin(x)-\frac{x}{\sin(x)}.

Passo 3

Colocamos em um único quociente para simplificar:
x\sin(x)-\frac{x}{\sin(x)} =\frac{x\sin^2(x)-x}{\sin(x)} =\frac{x\bigl(\sin^2(x)-1\bigr)}{\sin(x)} =\frac{-x\cos^2(x)}{\sin(x)}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite em
-\,\frac{x\cos^2(x)}{\sin(x)}.
Como \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)}=1 e \lim_{x\to0}\cos^2(x)=1, segue que
\lim_{x\to0}\Bigl(-\frac{x\cos^2(x)}{\sin(x)}\Bigr) =-1\cdot1\cdot1=-1.

Resposta

-1

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