Questão 7.Calcule, se existir, o seguinte limite ou mostre que ele não existe, caso contrário:
\lim _{t \rightarrow+\infty} f(t), \quad \text { sendo } \quad f(t)=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x t}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \displaystyle \lim_{t\to+\infty}f(t), onde
f(t)=\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^{-xt}.
O conteúdo usado aqui é o limite que define o número e: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^x = e.

Passo 2

Reescrevemos a expressão interna de f(t):
\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^{-xt} =\bigl[(1+\tfrac1x)^x\bigr]^{-t}.
Aplicando o limite x\to+\infty e usando \lim_{x\to\infty}(1+1/x)^x=e, obtemos
f(t)=e^{-t}.

Passo 3

Finalmente, calculamos
\lim_{t\to+\infty}e^{-t}.
Como e^{-t} é uma exponencial decrescente, ela tende a zero quando t\to+\infty.

Resposta

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