Questão 2.
(1.5) Determine uma equação da reta tangente à curva
5 x^{2}+3 y^{2}+x y=15
no ponto ( -1,2 ).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
5x^{2}+3y^{2}+x y=15
no ponto (-1,2).
Para resolver, vamos usar diferenciação implícita para obter y' e depois aplicar a fórmula da reta tangente
y - y_{0}=m\,(x - x_{0}),
onde m=y'\bigl(x_{0},y_{0}\bigr).

Passo 2

Derivando ambos os lados de
5x^{2}+3y^{2}+x y=15
em relação a x, usando y=y(x):
\frac{d}{dx}(5x^{2})+\frac{d}{dx}(3y^{2})+\frac{d}{dx}(x y)=\frac{d}{dx}(15)\,,
isto é,
10x + 6y\,y' + \bigl(y + x\,y'\bigr) = 0.

Passo 3

Agrupando os termos que envolvem y':
(6y + x)\,y' + 10x + y = 0
e isolando y':
y' = -\frac{10x + y}{6y + x}.

Passo 4

Avaliaremos y' em (x,y)=(-1,2):
y'(-1,2) = -\frac{10(-1) + 2}{6\cdot2 + (-1)} = -\frac{-10 + 2}{12 - 1} = -\frac{-8}{11} = \frac{8}{11}.

Passo 5

A equação da reta tangente em (-1,2) com inclinação m=\tfrac{8}{11} é
y - 2 = \frac{8}{11}(x - (-1)) \quad\Longrightarrow\quad y - 2 = \frac{8}{11}(x + 1).
Multiplicando por 11 e rearranjando, obtemos
11y - 22 = 8x + 8 \quad\Longrightarrow\quad 11y = 8x + 30 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{8}{11}x + \frac{30}{11}.

Resposta

A reta tangente é
y = \frac{8}{11}\,x + \frac{30}{11}.

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