Questão 3. (1.0) Determine o valor mínimo global de f(x)=x-12 x^{\frac{1}{3}} no intervalo [0,27].

Passo 1

O enunciado pede o valor mínimo global da função
f(x)=x - 12\,x^{\tfrac{1}{3}}
no intervalo fechado [0,27]. Para isso, vamos usar o Teorema de Weierstrass, que diz que em intervalos fechados o mínimo ocorre em pontos críticos (onde f'(x)=0 ou não existe) ou em extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Em display:
f'(x) =1 - 12\cdot\frac{1}{3}\,x^{-\tfrac{2}{3}} =1 - 4\,x^{-\tfrac{2}{3}}.
Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
1 - 4\,x^{-\tfrac{2}{3}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{-\tfrac{2}{3}} = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad x^{\tfrac{2}{3}} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 4^{\tfrac{3}{2}} = 8.
Esse é o único ponto crítico em (0,27).

Passo 3

Agora avaliamos f nos candidatos:
— Em x=0:
f(0)=0 - 12\cdot0^{\tfrac{1}{3}} = 0.
— Em x=8:
f(8)=8 - 12\cdot8^{\tfrac{1}{3}} =8 - 12\cdot2 =8 - 24 =-16.
— Em x=27:
f(27)=27 - 12\cdot27^{\tfrac{1}{3}} =27 - 12\cdot3 =27 - 36 =-9.

Passo 4

Comparando os valores:
f(0)=0,\quad f(8)=-16,\quad f(27)=-9,
vemos que o menor é -16, que ocorre em x=8.

Resposta

O valor mínimo global de f em [0,27] é -16, atingido em x=8.

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