Questão 3. Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z) através da superfície \sigma, na direção da normal unitária exterior, onde \sigma é a fronteira do sólido B, nos seguntes casos: \vec{F}(x, y, z)=x z \vec{i}+y z \vec{j}+z^{2} \vec{k} e B=\left\{(x, y, z) \in R^{3} / x^{2}+y^{2} \leq 4\right. e \left.0 \leq z \leq 2\right\};
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=x\,z\,\mathbf{i}+y\,z\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k} através da superfície fechada \sigma que é a fronteira do cilindro B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le4,\;0\le z\le2\}. O método mais eficiente aqui é usar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz que o fluxo de \vec{F} através de \sigma é igual ao integral triplo de \nabla\cdot\vec{F} sobre B.