Questão 3. Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z) através da superfície \sigma, na direção da normal unitária exterior, onde \sigma é a fronteira do sólido B, nos seguntes casos:
\vec{F}(x, y, z)=x z \vec{i}+y z \vec{j}+z^{2} \vec{k} e B=\left\{(x, y, z) \in R^{3} / x^{2}+y^{2} \leq 4\right. e \left.0 \leq z \leq 2\right\};

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=x\,z\,\mathbf{i}+y\,z\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k} através da superfície fechada \sigma que é a fronteira do cilindro B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le4,\;0\le z\le2\}. O método mais eficiente aqui é usar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz que o fluxo de \vec{F} através de \sigma é igual ao integral triplo de \nabla\cdot\vec{F} sobre B.

Passo 2

Vamos calcular a divergência de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x\,z) +\frac{\partial}{\partial y}(y\,z) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =z+z+2z=4z.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\text{Fluxo} =\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{B}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV =\iiint_{B}4z\,dV.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), temos x^{2}+y^{2}=r^{2}\le4, \theta\in[0,2\pi], r\in[0,2], z\in[0,2] e dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Logo,
\iiint_{B}4z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{2}4z\,(r\,dr\,dz\,d\theta).
Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{2}r\,dr=\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{2}=2,
depois em z:
\int_{0}^{2}4z\cdot2\,dz =8\int_{0}^{2}z\,dz =8\cdot\frac{z^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} =8\cdot2=16,
e finalmente em \theta:
\int_{0}^{2\pi}16\,d\theta=16\cdot2\pi=32\pi.

Resposta

O fluxo de \vec{F} através de \sigma é 32\pi.

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