Questão 3. Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, na direção da normal unitária exterior, onde
é a fronteira do sólido
, nos seguntes casos:
e
;
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície que é a fronteira do sólido
.
O conteúdo usado será o Teorema da Divergência (ou Gauss), que transforma o fluxo de sobre
numa integral tripla do divergente de
sobre o volume
.
através da superfície
O conteúdo usado será o Teorema da Divergência (ou Gauss), que transforma o fluxo de
Passo 2
Calculamos o divergente de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
na normal exterior é
Passo 4
Separemos a integral:
Como
é uma bola centrada na origem, cada integral de
, de
e de
sobre
é zero por simetria (são funções ímpares em relação ao plano de coordenadas). Logo:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.