Questão 3. Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z) através da superfície \sigma, na direção da normal unitária exterior, onde \sigma é a fronteira do sólido B, nos seguntes casos:
\vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k} e B=\left\{(x, y, z) \in R^{3} / x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9\right\};

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=x^{2}\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k}
através da superfície \sigma que é a fronteira do sólido
\displaystyle B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le9\}.
O conteúdo usado será o Teorema da Divergência (ou Gauss), que transforma o fluxo de \vec{F} sobre \sigma numa integral tripla do divergente de \vec{F} sobre o volume B.

Passo 2

Calculamos o divergente de \vec{F}:
\text{div}\,\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =2x+2y+2z.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de \vec{F} na normal exterior é
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iiint_{B}\bigl(\text{div}\,\vec{F}\bigr)\,dV =\iiint_{B}(2x+2y+2z)\,dV.

Passo 4

Separemos a integral:
\iiint_{B}(2x+2y+2z)\,dV =2\iiint_{B}x\,dV+2\iiint_{B}y\,dV+2\iiint_{B}z\,dV.
Como B é uma bola centrada na origem, cada integral de x, de y e de z sobre B é zero por simetria (são funções ímpares em relação ao plano de coordenadas). Logo:
\iiint_{B}(2x+2y+2z)\,dV=0.

Resposta

O fluxo de \vec{F} através de \sigma é 0.

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