Questão 3. Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z) através da superfície \sigma, na direção da normal unitária exterior, onde \sigma é a fronteira do sólido B, nos seguntes casos:
\vec{F}(x, y, z)=\cos (y z) \vec{i}+\sin (x z) \vec{j}-3 z \vec{k} e B=\left\{(x, y, z) \in R^{3} / x^{2}+y^{2} \leq 4\right. e x^{2}+y^{2} \leq \left.z \leq 8-x^{2}-y^{2}\right\} ;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F(x,y,z)=\cos(yz)\,\vec i+\sin(xz)\,\vec j-3z\,\vec k através da superfície fechada \sigma=\partial B, onde
B=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2\le4,\;x^2+y^2\le z\le8-(x^2+y^2)\bigr\}.
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (ou de Gauss), que afirma
\iint_{\sigma}\vec F\cdot\vec n\,dS \;=\;\iiint_{B}\nabla\cdot\vec F\,dV.

Passo 2

Calculemos o divergente de \vec F:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(yz)\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(xz)\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-3z\bigr) =0+0-3=-3.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo \Phi vale
\Phi =\iiint_{B}\nabla\cdot\vec F\,dV =\iiint_{B}(-3)\,dV =-3\iiint_{B}dV =-3\,\mathrm{Vol}(B).

Passo 4

Vamos calcular \mathrm{Vol}(B) em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), com 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi e r^2\le z\le8-r^2:
\mathrm{Vol}(B) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\!\int_{r^2}^{\,8-r^2}r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\int_{0}^{2}r\bigl(8-2r^2\bigr)\,dr =2\pi\int_{0}^{2}(8r-2r^3)\,dr.
Calculemos
\int_{0}^{2}(8r-2r^3)\,dr =\bigl[4r^2-\tfrac12r^4\bigr]_{0}^{2} =4\cdot4-\tfrac12\cdot16 =16-8=8,
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\mathrm{Vol}(B)=2\pi\cdot8=16\pi.

Passo 5

Substituindo em \Phi=-3\,\mathrm{Vol}(B), vem
\Phi=-3\cdot16\pi=-48\pi.

Resposta

-48\pi

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