Questão 2. Calcule o fluxo do campo vetorial vec{F}(x, y, z) através da superfície sigma nos seguntes casos:
vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}-y \vec{j}+2 \vec{k} e sigma a superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com z \geq 0, na direção da normal unitária vec{n} com componente z>0;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
F(x,y,z)=x\,\mathbf{i}-y\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}
através da superfície \sigma dada pela hemisfera x^2+y^2+z^2=4, z\ge0, com a normal unitária apontando para fora (com componente z>0).
Conteúdo: cálculo de fluxo e Teorema da Divergência (Gauss).

Passo 2

Para usar o Teorema da Divergência, fechamos a superfície adicionando o disco D\colon z=0,\;x^2+y^2\le4. Chamemos S a hemisfera e D o disco. No volume V limitado por S\cup D, o Teorema da Divergência diz
\iint_{S}F\cdot n\,dS \;+\;\iint_{D}F\cdot n\,dS \;=\;\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot F\bigr)\,dV.

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(-y)+\frac{\partial}{\partial z}(2) =1-1+0=0.
Logo
\iiint_{V}(\nabla\cdot F)\,dV=0.

Passo 4

Pelo resultado acima,
\iint_{S}F\cdot n\,dS + \iint_{D}F\cdot n\,dS = 0 \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S}F\cdot n\,dS = -\iint_{D}F\cdot n\,dS.

Passo 5

No disco D temos z=0 e a normal exterior ao volume é n_D=-\mathbf{k}. Assim
F\bigl|_{D} = x\,\mathbf{i}-y\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}, \quad F\cdot n_D = F\cdot(-\mathbf{k}) = -2.
Como a área de D é \pi(2)^2=4\pi,
\iint_{D}F\cdot n\,dS = \iint_{D}(-2)\,dS = -2\cdot(4\pi) = -8\pi.

Passo 6

Substituindo em
\iint_{S}F\cdot n\,dS = -\iint_{D}F\cdot n\,dS, temos
\iint_{S}F\cdot n\,dS = -(-8\pi) = 8\pi.

Resposta

8\pi

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