Questão 3. Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z) através da superfície \sigma, na direção da normal unitária exterior, onde \sigma é a fronteira do sólido B, nos seguntes casos:
\vec{F}(x, y, z)=x z \vec{i}+y z \vec{j}+z^{2} \vec{k} e B=\left\{(x, y, z) \in R^{3} / 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 3\right., e \left.0 \leq z \leq y\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=xz\,\vec{i}+yz\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k} através da superfície fechada \sigma=\partial B, onde
B = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 3,\;0\le z\le y\}.
Para superfícies fechadas, usamos o Teorema da Divergência (ou de Gauss):
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec n\,dS \;=\;\iiint_{B}\nabla\!\cdot\!\vec{F}\,dV.

Passo 2

Calcular o divergente de \vec{F}:
\nabla\!\cdot\!\vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(xz) + \frac{\partial}{\partial y}(yz) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = z + z + 2z = 4z.

Passo 3

Montar a integral tripla segundo os limites de B:
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec n\,dS = \iiint_{B}4z\,dV = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{3}\!\int_{z=0}^{y}4z\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Avaliar em etapas:
\int_{z=0}^{y}4z\,dz = 2y^2,
\int_{y=0}^{3}2y^2\,dy = 2\cdot\frac{3^3}{3} = 2\cdot 9 = 18,
\int_{x=0}^{2}18\,dx = 18\cdot 2 = 36.

Resposta

O fluxo de \vec{F} através de \sigma é 36.

Exercícios relacionados