Questão 4. Calcule o fluxo do rotacional do campo vetorial vec{F}(x, y, z) através da superfície σ nos seguntes casos: vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}-x \vec{j}+z^{3} \vec{k} e x^{2}+y^{2}+z^{2}=5, com z \geq-1 sendo \vec{n} a normal unitária apontado para cima;
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de \nabla\times \mathbf{F} através da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 com z\ge -1, usando a normal unitária apontando para cima. O campo é
Aplicamos o Teorema de Stokes: em vez de integrar (0,0,-2) na superfície, fazemos a integral de linha de \mathbf{F} ao longo da curva de contorno \partial\sigma. Essa curva é a interseção da esfera com o plano z=-1, ou seja x^{2}+y^{2}=4 em z=-1.
Passo 4
Parametrizamos o círculo com t\in[0,2\pi] de forma que, visto de cima (e com a normal apontando para cima), tenhamos orientação anti-horária: