Questão 4. Calcule o fluxo do rotacional do campo vetorial vec{F}(x, y, z) através da superfície σ nos seguntes casos:
vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}-x \vec{j}+z^{3} \vec{k} e x^{2}+y^{2}+z^{2}=5, com z \geq-1 sendo \vec{n} a normal unitária apontado para cima;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \nabla\times \mathbf{F} através da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 com z\ge -1, usando a normal unitária apontando para cima. O campo é
\mathbf{F}(x,y,z)=y\,\mathbf{i}-x\,\mathbf{j}+z^{3}\,\mathbf{k},
e o que vamos usar é o Teorema de Stokes, que diz
\iint_{\sigma}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\oint_{\partial\sigma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Calculemos o rotacional de \mathbf{F}. Pelas definições de derivada parcial,
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ y&-x&z^3 \end{vmatrix} =(0)\mathbf{i}+(0)\mathbf{j}+(-2)\mathbf{k} =\bigl(0,0,-2\bigr).

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Stokes: em vez de integrar (0,0,-2) na superfície, fazemos a integral de linha de \mathbf{F} ao longo da curva de contorno \partial\sigma. Essa curva é a interseção da esfera com o plano z=-1, ou seja x^{2}+y^{2}=4 em z=-1.

Passo 4

Parametrizamos o círculo com t\in[0,2\pi] de forma que, visto de cima (e com a normal apontando para cima), tenhamos orientação anti-horária:
\mathbf{r}(t)=\bigl(2\cos t,\,2\sin t,\,-1\bigr), \quad d\mathbf{r}=(-2\sin t,\,2\cos t,\,0)\,dt.
Nesse ponto
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl(2\sin t,\,-2\cos t,\,-1\bigr).

Passo 5

Computamos a integral de linha:
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =(2\sin t)(-2\sin t)+(-2\cos t)(2\cos t)+(-1)\cdot 0 =-4\sin^{2}t-4\cos^{2}t=-4.
Logo
\oint_{\partial\sigma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}(-4)\,dt =-8\pi.

Resposta

\iint_{\sigma}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =-8\pi.

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