Questão 4. Calcule a fração de espaço ocupado por esferas idênticas em (a) uma célula cúbica primitiva e (b) em uma célula cúbica de corpo centrado. Compare com o valor obtido para as estruturas de empacotamento compacto.

Passo 1

O enunciado pede a fração de espaço ocupado por esferas idênticas em duas redes cristalinas: a cúbica primitiva (SC) e a cúbica de corpo centrado (BCC). Vamos usar conceitos de cristalografia: determinar o número efetivo de átomos por célula unitária, relacionar o parâmetro de rede a com o raio atômico r, calcular o volume da célula a^3 e o volume total ocupado pelas esferas, e então formar a fração de empacotamento \eta.

Passo 2

Na rede cúbica primitiva (SC) há 8 átomos nos vértices, cada um contribuindo com 1/8, totalizando 1 átomo por célula. As esferas nos vértices tocam-se ao longo da aresta, o que dá
a = 2r.
O volume da célula é
a^3 = (2r)^3 = 8r^3,
e o volume de uma esfera é
V_{\rm esfera} = \frac{4}{3}\pi r^3.
Como há exatamente 1 átomo por célula, o volume ocupado pelas esferas é \tfrac{4}{3}\pi r^3. Logo a fração de empacotamento é
\eta_{\rm SC} = \frac{\tfrac{4}{3}\pi r^3}{8r^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524.

Passo 3

Na rede cúbica de corpo centrado (BCC) existem 8 átomos nos vértices (1 átomo efetivo) mais 1 átomo no centro, totalizando 2 átomos por célula. As esferas do centro e dos vértices tocam-se ao longo da diagonal do cubo, de comprimento \sqrt{3}\,a, que corresponde a quatro raios:
\sqrt{3}\,a = 4r \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{4r}{\sqrt{3}}.
O volume da célula fica
a^3 = \left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{64}{3\sqrt{3}}\,r^3,
e o volume total das 2 esferas é
2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{8}{3}\pi r^3.
Assim a fração de empacotamento é
\eta_{\rm BCC} = \frac{\tfrac{8}{3}\pi r^3}{\tfrac{64}{3\sqrt{3}}\,r^3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}680.

Passo 4

Para comparar, nas estruturas de empacotamento compacto (cúbica de face centrada ou hexagonal compacta) a fração é
\eta_{\rm FCC/HCP} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}7405.
Observa‐se que
\eta_{\rm SC}<\eta_{\rm BCC}<\eta_{\rm FCC/HCP}.

Resposta

A fração de empacotamento na célula cúbica primitiva é \displaystyle \frac{\pi}{6}\approx0{,}524.
Na célula cúbica de corpo centrado é \displaystyle \frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx0{,}680.
Para o empacotamento compacto (FCC/HCP) vale \displaystyle \frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx0{,}7405.

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