Questão 4. Calcule a fração de espaço ocupado por esferas idênticas em (a) uma célula cúbica primitiva e (b) em uma célula cúbica de corpo centrado. Compare com o valor obtido para as estruturas de empacotamento compacto.
Passo 1
O enunciado pede a fração de espaço ocupado por esferas idênticas em duas redes cristalinas: a cúbica primitiva (SC) e a cúbica de corpo centrado (BCC). Vamos usar conceitos de cristalografia: determinar o número efetivo de átomos por célula unitária, relacionar o parâmetro de rede
com o raio atômico
, calcular o volume da célula
e o volume total ocupado pelas esferas, e então formar a fração de empacotamento
.
Passo 2
Na rede cúbica primitiva (SC) há 8 átomos nos vértices, cada um contribuindo com
, totalizando 1 átomo por célula. As esferas nos vértices tocam-se ao longo da aresta, o que dá
O volume da célula é
e o volume de uma esfera é
Como há exatamente 1 átomo por célula, o volume ocupado pelas esferas é
. Logo a fração de empacotamento é
Passo 3
Na rede cúbica de corpo centrado (BCC) existem 8 átomos nos vértices (1 átomo efetivo) mais 1 átomo no centro, totalizando 2 átomos por célula. As esferas do centro e dos vértices tocam-se ao longo da diagonal do cubo, de comprimento
, que corresponde a quatro raios:
O volume da célula fica
e o volume total das 2 esferas é
Assim a fração de empacotamento é
Passo 4
Para comparar, nas estruturas de empacotamento compacto (cúbica de face centrada ou hexagonal compacta) a fração é
Observa‐se que
Resposta
A fração de empacotamento na célula cúbica primitiva é
.
Na célula cúbica de corpo centrado é .
Para o empacotamento compacto (FCC/HCP) vale .
Na célula cúbica de corpo centrado é
Para o empacotamento compacto (FCC/HCP) vale