Questão 7. Mostre que a relação entre o número de esferas em empacotamento compacto ecc e o número de cavidades tetraédricas é de 1:2.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, num empacotamento compacto cúbico (ECC, que é equivalente à estrutura cúbica de faces centradas, FCC), o número de cavidades tetraédricas é o dobro do número de esferas.
Conteúdo: cristalografia de sólidos iônicos ou metálicos, contagem de átomos e sítios intersticiais em uma célula unitária. Vamos usar a geometria da célula FCC para contar esferas e cavidades.
Conteúdo: cristalografia de sólidos iônicos ou metálicos, contagem de átomos e sítios intersticiais em uma célula unitária. Vamos usar a geometria da célula FCC para contar esferas e cavidades.
Passo 2
Determinar quantas esferas (átomos) cabem em uma célula unitária FCC. Numa FCC temos:
– 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 células → contribuição total .
– 6 átomos nos centros das faces, cada um compartilhado por 2 células → contribuição total .
Logo o total por célula é
– 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 células → contribuição total
– 6 átomos nos centros das faces, cada um compartilhado por 2 células → contribuição total
Logo o total por célula é
Passo 3
Identificar as cavidades tetraédricas numa FCC. Cada cavidade tetraédrica surge em posições como
e equivalentes, e existem exatamente 8 dessas posições totalmente internas à célula unitária. Essas cavidades não são compartilhadas com células vizinhas, então cada uma conta por 1.
Passo 4
Contagem final na célula unitária:
– Número de esferas: .
– Número de cavidades tetraédricas: .
Portanto a razão é
– Número de esferas:
– Número de cavidades tetraédricas:
Portanto a razão é
ou seja, para cada esfera há 2 cavidades tetraédricas.
Resposta
Para empacotamento FCC, a razão entre número de esferas e número de cavidades tetraédricas é de
.