Questão 7. Mostre que a relação entre o número de esferas em empacotamento compacto ecc e o número de cavidades tetraédricas é de 1:2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, num empacotamento compacto cúbico (ECC, que é equivalente à estrutura cúbica de faces centradas, FCC), o número de cavidades tetraédricas é o dobro do número de esferas.
Conteúdo: cristalografia de sólidos iônicos ou metálicos, contagem de átomos e sítios intersticiais em uma célula unitária. Vamos usar a geometria da célula FCC para contar esferas e cavidades.

Passo 2

Determinar quantas esferas (átomos) cabem em uma célula unitária FCC. Numa FCC temos:
– 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 células → contribuição total \tfrac{8}{8}=1.
– 6 átomos nos centros das faces, cada um compartilhado por 2 células → contribuição total \tfrac{6}{2}=3.
Logo o total por célula é
1 + 3 = 4\quad\text{esferas.}

Passo 3

Identificar as cavidades tetraédricas numa FCC. Cada cavidade tetraédrica surge em posições como \bigl(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14\bigr) e equivalentes, e existem exatamente 8 dessas posições totalmente internas à célula unitária. Essas cavidades não são compartilhadas com células vizinhas, então cada uma conta por 1.

Passo 4

Contagem final na célula unitária:
– Número de esferas: 4.
– Número de cavidades tetraédricas: 8.
Portanto a razão é
\frac{\text{esferas}}{\text{cavidades tetraédricas}} =\frac{4}{8} =\frac{1}{2},é
ou seja, para cada esfera há 2 cavidades tetraédricas.

Resposta

Para empacotamento FCC, a razão entre número de esferas e número de cavidades tetraédricas é de 1:2.

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