QUESTÃO 8(1,0) - Calcule a frequência de colisão z para a amônia à 25^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa , considerando que o raio da molécula é 190 pm e a massa atômica \mathrm{m}=17,031 \mathrm{u}.

Passo 1

O enunciado pede a frequência de colisão z (colisões por molécula por segundo) para o gás amônia nas condições de 25^\circ\mathrm{C} (isto é, T=298\\ \mathrm{K}) e 100\\ \mathrm{kPa}, sabendo que o raio molecular é r=190\\ \mathrm{pm} e a massa molecular é m=17{,}031\\ \mathrm{u}. Vamos usar teoria cinética dos gases, em que
  1. a densidade numérica é n = \dfrac{p}{k_B\,T},
  2. a área de seção eficaz de colisão é \sigma = \pi d^2 com d=2r,
  3. a velocidade relativa média é \langle v_{\rm rel}\rangle = \sqrt{\dfrac{16\,k_B\,T}{\pi\,m}},
  4. e a frequência de colisão por molécula é z = n\,\sigma\,\langle v_{\rm rel}\rangle.

Passo 2

Calcular a densidade numérica n.
n = \frac{p}{k_B\,T} \quad\text{com}\quad p=100\,000\\ \mathrm{Pa},\\ T=298\\ \mathrm{K},\\ k_B=1{,}3806\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
n = \frac{1{,}0\times10^{5}}{1{,}3806\times10^{-23}\times298} \approx 2{,}43\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

Determinar a área de colisão \sigma.
O diâmetro molecular é
d = 2r = 2\times190\times10^{-12}\\ \mathrm{m} = 3{,}80\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Logo
\sigma = \pi\,d^{2} = \pi\,(3{,}80\times10^{-10})^{2} \approx 4{,}54\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a velocidade relativa média \langle v_{\rm rel}\rangle.
Primeiro converter a massa molecular para kg:
m = 17{,}031\\ \mathrm{u} =17{,}031\times1{,}6605\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} \approx 2{,}828\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Depois
\langle v_{\rm rel}\rangle = \sqrt{\frac{16\,k_B\,T}{\pi\,m}} = \sqrt{\frac{16\times1{,}3806\times10^{-23}\times298} {\pi\times2{,}828\times10^{-26}}} \approx 8,61\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a frequência de colisão por molécula z.
z = n\,\sigma\,\langle v_{\rm rel}\rangle = (2{,}43\times10^{25})(4{,}54\times10^{-19})(8,61\times10^{2}) \approx 9,5\times10^{9}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

A frequência de colisão é aproximadamente
z \approx 9{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{s^{-1}}.

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