Questão 1. Represente graficamente o domínio da função
f(x, y)=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{3 x-y}.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o domínio da função
f(x,y)=\sqrt{y - x^{2}} \;+\;\sqrt{3x - y}
ou seja, a região de \mathbb{R}^2 onde ambos os radicais estão definidos (argumentos não negativos). Vamos traduzir essas condições em desigualdades e interpretar geometricamente.

Passo 2

Para que \sqrt{y - x^{2}} seja real precisamos de
y - x^{2} \ge 0,
e para que \sqrt{3x - y} seja real precisamos de
3x - y \ge 0.

Passo 3

Reescrevendo:
y \ge x^{2} \quad\text{(região sobre a parábola }y=x^2\text{)}ãá
y \le 3x \quad\text{(região abaixo da reta }y=3x\text{).}ã

Passo 4

Para haver pontos que satisfaçam simultaneamente x^2 \le y \le 3x é preciso que
x^2 \le 3x \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-3)\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\le x\le 3.

Passo 5

Logo o domínio é
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\;x^2\le y\le 3x\bigr\}.

Passo 6

Graficamente D é a região fechada no plano limitada por:
– a parábola y=x^2 em baixo,
– a reta y=3x em cima,
– o segmento de reta que vai de (0,0) até (3,9) (interseção das duas curvas).
É uma “fatia” entre a parábola e a reta para x\in[0,3].

Resposta

O domínio de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le 3,\;x^2\le y\le 3x\}.

Exercícios relacionados